1. Возрастание и убывание функции.

Лекция 22. «Возрастание и убывание функции на интервале. Критические точки. Экстремумы функции»

1. Возрастание и убывание функции.

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)

1. Найти D(f) – область определения.

2. Найти f‘(x) – производную.

3. Определить, при каких значениях х производная f‘(x) ≥ 0 (на этих промежутках функция возрастает); при каких значениях х производная f‘(x) ≤ 0 (на этих промежутках функция убывает))

Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка из неравенства х₁< х₂следует неравенство f(x₁) < f(x₂)

Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка из неравенства х₁< х₂следует неравенство f(x₁) > f(x₂)

Теоремы

1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≥ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.

2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≤ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.

Пример 1. Определите промежутки монотонности функции

у = -3х3 + 4х2 + х – 10.

Решение

1. Найдем область определения функции.

D(y) =

2. Найдем производную функции.

y’ = (x – 1)(-9x – 1)

3. Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.