3. Метод Гаусса

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.

Идея метода Гаусса состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается.

Пример 3.

В результате элементарных преобразований добиваются того, чтобы в последнем уравнении системы осталось одно неизвестное ( ), во втором – 2 неизвестных ( и ) а в первом – 3 неизвестных ( , , ). За ведущее уравнение берется то, в котором коэффициент при равен 1. Если такого уравнения нет, то его легко получить, разделив любое из уравнений системы на коэффициент при .

Ведущим уравнением данной системы будет последнее. Перепишем систему так:

(2)

Умножаем первое уравнение на (-2) и складываем со вторым, чтобы избавиться от во втором уравнении. Результат сложения записываем на месте второго уравнения. Далее первое уравнение умножаем на (-5) и складываем с третьим, чтобы избавиться от в третьем уравнении. Результат записываем на месте третьего уравнения. Первое уравнение при этом переписываем без изменений. Получим:

(3)

Умножаем второе уравнение системы (5) на (-1) и складываем с третьим, чтобы избавиться от в третьем уравнении.

Из последнего уравнения . Подставляем это значение во втрое уравнение системы и находим :

В первое уравнение подставляем значения и , получаем

Ответ: ; ; .

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒