Сложение и вычитание.

Статья М. А. Бантовой «Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждения»

из журнала «Начальная школа» 1982 г., №8

Одной из главных задач обучения младших школьников математики является формирование у них вычислительных навыков. Процесс овладения вычислительными навыками довольно сложен: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научиться достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев – запомнить результаты наизусть. К тому же в каждом концентре изучается довольно большое количество приемов, поэтому естественно, что не все ученики сразу усваивают их, часть допускает ошибки.

В предлагаемой статье рассматриваются типичные ошибки учеников при выполнении ими арифметических действий в каждом концентре, а также методические приемы предупреждения и устранения таких ошибок.

Десяток.

1. Смешение действий сложения и вычитания(7 + 2 = 5, 6 – 4 = 10). Такие ошибки возникают по двум причинам. Первая причина: ученики еще не усвоили самих действий сложения и вычитания или же знаков этих действий. Чаще это происходит потому, что учитель стал рано требовать выполнения арифметических действий без использования счетного материала (палочек, геометрических фигур из набора и т. п.).

Чтобы предупредить появление названных ошибок, не следует запрещать ученикам пользоваться счетным материалом, если они иначе не могут найти результат сложения или вычитания. Для устранения уже появившихся ошибок надо вернуть учеников к работе со счетным материалом. При этом важно, чтобы сопровождались вычисления словесным рассуждением и соответствующей записью. Например, выполняя сложение 5 + 2, ученик берет 5 кружков и еще 2, затем придвигая к 5 кружкам 1 кружок, говорит: «К 5 прибавить 1, получится 6». Далее придвигая к 6 кружкам еще кружок, он говорит: «К 6 прибавить 1, получится 7. Записываю: 5 + 2 = 7».

Вторая причина ошибок в замене одного арифметического действия другим – это недостаточный анализ решаемого примера: при вычислениях ученики больше обращают внимание на числа, чем на знак действия. Поэтому важно с первых уроков обучения вычислениям приучать учеников к тому, чтобы они называли сначала вслух, а позднее про себя, какое арифметическое действие надо выполнить и над какими числами, и только после этого вычисляли результат. Так, пусть, решая пример 6 – 4, они говорят: «Это пример на вычитание (или: «Здесь надо вычитать»), из 6 вычесть 4, получится 2». Воспитывая привычку выполнять такой анализ, можно полностью устранить ошибки в замене одного арифметического действия другим.

2. Получение результата на единицу больше или меньше верного(7 + 2 = 8, 9 – 3 = 7). Подобные ошибки возникают при присчитывании и отсчитывании чисел 2, 3, 4 по единице с опорой на натуральный ряд. Например, прибавляя к 7 число 2, ученики должны назвать два числа, следующие в ряду за числом 7, однако бывает, что они первым называют данное число, а не следующее за ним (7, 8) и думают, что они прибавили 2 и что 7 + 2 = 8. Для предупреждения таких ошибок полезно, чтобы при присчитывании и отсчитывании по единице называлось промежуточные результаты (7 + 1 = 8, 8 + 1 = 9, значит, 7 + 2 = 9).

3. Неверный результат получается иногда вследствие использования нерациональных приемов. Например, выполняя сложение в случаях вида 3 + 6, часть учеников вместо приема перестановки слагаемых использует прием присчитывания по единице (по 2, по 3), а это трудно, и ученики часто забывают, сколько единиц они уже прибавили и сколько осталось прибавить, вследствие чего получают неправильный результат (3 + 6 = 8, 3 + 6 = 10 и т. п.).

Предупреждению таких ошибок помогает сравнение рациональных и нерациональных приемов вычислений. Так, обнаружив, что некоторые ученики допускают ошибки при решении примеров вида 3 + 6, учитель спрашивает, как они решали пример (3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5 и т. д.), затем другие ученики объясняют, как можно решить этот пример быстрее, легче (надо переставить слагаемые 6 + 3 = 9, результат помним наизусть). Здесь же ученики указывают, в каких случаях следует переставлять слагаемые (когда к меньшему числу прибавляем большее).

4. Запись или называние вместо результата одного из компонентов(3 + 5 = 5, 6 – 4 = 6). Такие ошибки возникают преимущественно по невнимательности. Как правило, ученики сами находят ошибку и дают верный ответ.

Для предупреждения подобных ошибок важно научить детей выполнять проверку решения путем прикидки результата: при сложении результат должен быть больше каждого из слагаемых (если ни одно из них не равно нулю); при вычитании результат должен быть меньше уменьшаемого (если вычитаемое не равно нулю); если эти отношения не выполняются, значит, в вычислениях допущена ошибка. Чтобы научить детей такой проверке надо попутно с вычислениями чаще проводить наблюдения, сравнивая результат с компонентами действий сложения и вычитания. Устранению названных ошибок помогает анализ и обсуждение неверно решенных примеров. Так, учитель спрашивает, верно ли решен пример 5 + 3 = 5 и может ли эта сумма равняться 5. Ученики сравнивают сумму со слагаемыми и говорят, что сумма должна быть больше, чем 5, так как к 5 еще прибавили 3.

5. Получение неверного результата в следствии смешения цифр.Например, ученик пишет: 4 + 2 = 9, хотя устно называет правильный ответ. Для исправления подобных ошибок необходима индивидуальная работа по запоминанию цифр: пусть ученик нарисует названное учителем число каких-либо предметов и рядом запишет цифрой соответствующее число, пусть найдет в своем наборе названные цифры и т. п.

Сотня.

Сложение и вычитание.

1. Смешение приемов вычитания, основанных на свойствах вычитания суммы из числа и числа из суммы.Например:

50 – 36 = 50 – (30 + 6) = (50 – 30) + 6 = 26

56 – 30 = (50 + 6) – 30 = (50 – 30) – 6 = 14

Чтобы предупредить появление подобных ошибок, надо проводить специальную работу по сравнению смешиваемых приемов, выявляя при этом существенное различие. Ученикам предлагаются пары примеров, аналогичные приведенным, решая которые, они сравнивают каждый следующий шаг:

80 – 27 = 80 – (20 + 7)

87 – 20 = (80 + 7) – 20

В первом примере надо вычитать из 80 сумму чисел 20 и 7, а во втором – вычитать одно число 20 из суммы чисел 80 и 7.

80 – 27 = 80 – (20 + 7) = (80 – 20) – 7 = 53

87 – 20 = (80 + 7) – 20 = (80 – 20) + 7 = 67

В первом примере вычли 20 и вычли 7, а во втором вычли только 20 из 80 и к результату прибавили 7.

Целесообразно провести также сравнение приемов для случаев вида 60 – 28 и 68 – 20, 14 – 6 и 16 – 4 и т. п.

2. Выполнение сложения и вычитания над числами разных разрядов как над числами одного разряда.

Например, ученик складывает число десятков с числом единиц 54 + 2 = 74, вычитает из числа единиц число десятков 57 – 40 = 53 и т. п.

Для предупреждения названных ошибок полезно обсудить неверные решения примеров. Так, учитель предлагает найти среди данных примеров те, при решении которых допущена ошибка: 42 + 3 = 45; 25 + 4 = 65; 54 + 30 = 57. Затем выясняется, какая допущена ошибка: во втором примере 4 единицы прибавили к двум десяткам и получили шесть десятков, это неправильно, единицы надо прибавлять к единицам, получится 29, а не 65; в третьем примере 3 десятка прибавили к четырем единицам получили семь единиц, это неверно, десятки надо прибавлять к десяткам, получится 84, а не 57. После этого еще раз повторяется, что единицы прибавляют к единицам, а десятки к десяткам. Такую работу следует провести и при рассмотрении примеров на вычитание. С учениками, которые часто допускают подобные ошибки, полезно вернуться к использованию счетного материала (пучки палочек и отдельные палочки, полоски с кружками и другие).

3. Ошибки в табличных случаях сложения и вычитания, когда они входят в качестве операций в более сложные примеры на сложение и вычитание.

Например: 37 + 28 = 64, 58 – 6 = 53 и т. п.

Предупреждению этих ошибок будет служить постоянное внимание к усвоению учениками табличных случаев сложения и вычитания, особенно случаям с переходом через десяток. Для устранения ошибок необходима индивидуальная работа с учениками, допускающими их.

4. Получение неверного результата вследствие пропуска операций, входящих в прием, или выполнения лишних операций.

Например: 64 + 30 = 97, 76 – 20 = 50. Эти ошибки, как правило, возникают в результате не внимательности учеников. Для их устранения необходимо научить и постоянно побуждать учеников выполнять проверку решения примеров. В данном случае используется проверка, основанная на связи между компонентами и результатом действий сложения и вычитания. С этим способом проверки ученики знакомятся в концентре «Сотня». Они рассуждают: «Проверю решение примера 64 + 30 = 97: из суммы 97 вычту слагаемое 30 получится 67, а должно получиться первое слагаемое 64 значит, пример решен неверно. Решаю снова». Важно при этом, чтобы ученик сам нашел ошибку: «К четырем единицам я прибавил 3, но это 3 десятка, я их уже прибавил к десяткам». Вычитание проверяется путем сложения разности и вычитаемого, а также с помощью вычитания разности из уменьшаемого. Заметим, что способ проверки путем прикидки результата здесь не подходит: получили сумму 97 которая больше каждого из слагаемых 64 и 30, однако ответ неверен. Это не значит, что им не надо пользоваться, он часто помогает установить, что результат неверен. Пусть ученики сначала выполнят сравнение результата с компонентами, а затем обратятся к другому способу проверки.

5. Смешение действий сложения и вычитания(36 + 20 = 16, 46 – 7 = 53),запись или называние в результате одного из компонентов(14 + 8 = 14). Эти ошибки обусловлены недостаточным вниманием учеников.

Эффективным средством устранения таких ошибок на данном этапе обучения является умение и привычка учеников выполнять проверку решения примеров. Здесь ошибка сразу выявляется, если сравнить результат с компонентами, например, ученик выполнил сложение так: 36 + 20 = 16. Сравнив сумму (16) со слагаемыми (36 и 20), он сразу обнаруживает, что полученная сумма меньше каждого из слагаемых, значит, пример решен неверно.

12 3 4 Следующая ⇒