Тема 12 Задача 3.. Решение задачи. Состояние. Обычный ремонт. Капитальный ремонт. Замена. Состояние. Обычный ремонт. Капитальный ремонт. Замена. Состояние

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Тема 12 Задача 3.

Решение задачи

Постановка задачи:

Станок может находиться в трех состояниях:

1 – хорошем, 2 – удовлетворительном, 3 – плохом.

Обеспечивает доход от выпуска продукции равный 250, 150 или 50 ден. единиц.

Соответствующие расходы равны:

Состояние	Обычный ремонт	Капитальный ремонт	Замена

Переходные состояния при различных ремонтах равны:

Состояние

Обычный ремонт

Капитальный ремонт

0,8

0,2

0,9

0,1

0,5

0,4

0,5

0,4

0,1

0,9

0,7

0,3

Вероятность того, что новый станок будет находиться в соответствующем состоянии равна 0,8; 0,15 и 0,05.

Состояние	Замена

	0,8	0,15	0,05
	0,8	0,15	0,05
	0,8	0,15	0,05

Определить оптимальную политику ремонта или замены, максимизирующую суммарный доход.

Решение:

1. Рассчитаем значения доходы в зависимости от расходов на ремонт или замену:

Состояние	Обычный ремонт		Капитальный ремонт			Замена
Состояние

					-10			-50
		-100		-30	-130		-50	-150

Чтобы рассчитать, например, для состояния 1 мы из 250 вычитаем соответствующие затраты (250-10 для обычного ремонта).

2. Вероятность каждого последующего выбора ремонта или замены в соответствующие состояния зависит только от того, в каком состоянии она находиться в данный момент. Так как станок может находиться в любом состоянии, то Марковская цепь будет обладать свойством эргодичности.

В результате предварительного анализа известны значения переходных вероятностей, связанные с данным выбором P⁽^q)_i,_j, а также получаемые доходы от выпуска продукции с учетом затрат U⁽^q)_i,_j.

Сведем все данные в одну таблицу:

Состояние i	Выбор q	Вероятности перехода P⁽^q)_i,_j			Значения дохода U⁽^q)_i,_j
Состояние i	Выбор q	j=1	j=2	j=3	j=1	j=2	j=3
		0,8	0,2
		0,9	0,1
		0,8	0,15	0,05
		0,1	0,5	0,4
		0,5	0,4	0,1			-10
		0,8	0,15	0,05			-50
			0,1	0,9			-100
			0,7	0,3		-30	-130
		0,8	0,15	0,05		-50	-150

Возьмем за начальное поведение q₀=(1,1,1), т.е. для всех состояний используется обычный ремонт. Для выбранного поведения построим систему из n уравнений с n+1 неизвестными, используя формулу

где G – ожидаемый доход, F_i – составляющая суммарного дохода, определяемая начальным состоянием.

F₁ + G = 0,8 [240 + F₁] + 0,2 [140 + F₂] + 0 [40 + F₃] = 0,8 [240 + F₁] + 0,2 [140 + F₂] =

= 192 + 0,8 F₁ + 28 + 0,2 F₂ = 220 + 0,8 F₁ + 0,2 F₂

F₂ + G = 0,1 [200 + F₁] + 0,5 [100 + F₂] + 0,4 [0 + F₃] = 0,1 [200 + F₁] + 0,5 [100 + F₂] + 0,4 F₃ =

= 20 + 0,1 F₁ + 50 + 0,5 F₂ + 0,4 F₃ = 70 + 0,1 F₁ + 0,5 F₂ + 0,4 F₃

F₃ + G = 0 [100 + F₁] + 0,1 [0 + F₂] + 0,9 [-100 + F₃] = 0,1 F₂ + 0,9 [-100 + F₃] =

= -90 + 0,1 F₂ + 0,9 F₃

F₁ + G = 220 + 0,8 F₁ + 0,2 F₂

F₂ + G = 70 + 0,1 F₁ + 0,5 F₂ + 0,4 F₃

F₃ + G = -90 + 0,1 F₂ + 0,9 F₃

Предположим что F₂ = 0, тогда мы получим следующую систему уравнений:

F₁ + G = 220 + 0,8 F₁

G = 70 + 0,1 F₁ + 0,4 F₃

F₃ + G = -90 + 0,9 F₃

F₁ + 70 + 0,1 F₁ + 0,4 F₃ = 220 + 0,8 F₁

0,3 F₁ + 0,4 F₃ = 150

0,3 F₁ = 150 - 0,4 F₃

F₁ = (150 - 0,4 F₃) / 0,3 = 500 – 1,33 F₃

G = 70 + 0,1 [500 – 1,33 F₃] + 0,4 F₃ = 70 + 50 – 0,13 F₃ + 0,4 F₃ = 120 + 0,27 F₃

F₃ + 120 + 0,27 F₃ = -90 + 0,9 F₃

0,37 F₃ = -30

F₃ = - 81,08

F₁ = 500 – 1,33 * (-81,08) = 500 + 107,84 = 607,84

G = 120 + 0,27 * (-81,08) = 120 – 21,89 = 98,11

Выбранная политика дает доход равный 98 ден. единиц.

На каждом шаге итерационного процесса при различных выборах путем последовательных приближений определяется критерий для всех состояний и выборов ремонта или замены:

T₁(1) = 0,8 [240 + 607,84] + 0,2 [140 + 0] + 0 [40 – 81,08] = 706,27

T₁(2) = 0,9 [235 + 607,84] + 0,1 [135 + 0] + 0 [35 – 81,08] = 772,06

T₁(3) = 0,8 [220 + 607,84] + 0,15 [120 + 0] + 0,05 [20 - 81,08] = 677,22

T₂(1) = 0,1 [200 + 607,84] + 0,5 [100 + 0] + 0,4 [0 – 81,08] = 98,35

T₂(2) = 0,5 [190 + 607,84] + 0,4 [90 + 0] + 0,1 [-10 - 81,08] = 425,81

T₂(3) = 0,8 [150 + 607,84] + 0,15 [50 + 0] + 0,05 [-50 - 81,08] = 607,22

T₃(1) = 0 [100 + 607,84] + 0,1 [0] + 0,9 [-100 - 81,08] = -162,97

T₃(2) = 0 [70 + 607,84] + 0,7 [-30 + 0] + 0,3 [-130 - 81,08] = -84,32

T₃(3) = 0,8 [50 + 607,84] + 0,15 [-50 + 0] + 0,05 [-150 - 81,08] = 507,22

Состояние i	Выбор q	Критерий T_i(q)
		706,27
		772,06
		677,22
		98,35
		425,81
		607,22
		-162,97
		-84,32
		507,22

Выбирая максимальное значение критерия для каждой состояния, мы получим оптимальное решение на данном шаге итерации.

Выберем максимальное из значений T_i(q) по q, получим улучшенное поведение q=(2,3,3), т.е. на основании уточнения, при нахождении станка в 1 состояние лучше выбрать капитальный ремонт, если станок находиться в 2 состоянии – замену на новый, если в 3 состоянии – замену на новый.

Постоим и решим новую систему уравнений, чтобы определить максимальный доход для полученного поведения системы:

F₁ + G = 0,9 [235 + F₁] + 0,1 [135 + F₂] + 0 [35 + F₃] = 0,9 [235 + F₁] + 0,1 [135 + F₂] =

= 211,5 + 0,9 F₁ + 13,5 + 0,1 F₂ = 225 + 0,9 F₁ + 0,1 F₂

F₂ + G = 0,8 [150 + F₁] + 0,15 [50 + F₂] + 0,05 [-50 + F₃] =

= 120 + 0,8 F₁ + 7,5 + 0,15 F₂ - 2,5 + 0,05 F₃ =

= 125 + 0,8 F₁ + 0,15 F₂ + 0,05 F₃

F₃ + G = 0,8 [50 + F₁] + 0,15 [-50 + F₂] + 0,05 [-150 + F₃] =

= 40 + 0,8 F₁ - 7,5 + 0,15 F₂ - 7,5 + 0,05 F₃ =

= 25 + 0,8 F₁ + 0,15 F₂ + 0,05 F₃

F₁ + G = 225 + 0,9 F₁ + 0,1 F₂

F₂ + G = 125 + 0,8 F₁ + 0,15 F₂ + 0,05 F₃

F₃ + G = 25 + 0,8 F₁ + 0,15 F₂ + 0,05 F₃

Предположим что F₂ = 0, тогда мы получим следующую систему уравнений:

F₁ + G = 225 + 0,9 F₁

G = 125 + 0,8 F₁ + 0,05 F₃

F₃ + G = 25 + 0,8 F₁ + 0,05 F₃

Вычтем из второго уравнения третье:

F₃ = -100

G = 225 – 0,1 F₁

225 – 0,1 F₁ = 125 + 0,8 F₁ + 0,05 F₃

-0,9 F₁ – 0,05 F₃ = - 100

0,9 F₁ + 0,05 F₃ = 100

0,9 F₁ = 100 - 0,05 F₃

F₁ = (100 - 0,05 F₃) / 0,9 = 111,11 – 0,056 F₃

F₁ = 111,11 – 0,056 * (-100) = 116,71

G = 225 – 0,1 * 116,71 = 213,33

Выбранная политика дает доход равный 213 ден. единиц (произошло увеличение дохода).

T₁(1) = 0,8 [240 + 116,71] + 0,2 [140 + 0] + 0 [40 – 100] = 313,37

T₁(2) = 0,9 [235 + 116,71] + 0,1 [135 + 0] + 0 [35 – 100] = 330,04

T₁(3) = 0,8 [220 + 116,71] + 0,15 [120 + 0] + 0,05 [20 - 100] = 283,37

T₂(1) = 0,1 [200 + 116,71] + 0,5 [100 + 0] + 0,4 [0 – 100] = 41,67

T₂(2) = 0,5 [190 + 116,71] + 0,4 [90 + 0] + 0,1 [-10 - 100] = 178,36

T₂(3) = 0,8 [150 + 116,71] + 0,15 [50 + 0] + 0,05 [-50 - 100] = 213,37

T₃(1) = 0 [100 + 116,71] + 0,1 [0] + 0,9 [-100 - 100] = -180

T₃(2) = 0 [70 + 116,71] + 0,7 [-30 + 0] + 0,3 [-130 - 100] = -84,32

T₃(3) = 0,8 [50 + 116,71] + 0,15 [-50 + 0] + 0,05 [-150 - 100] = 113,37

Состояние i	Выбор q	Критерий T_i(q)
		313,37
		330,04
		283,37
		41,67
		178,67
		213,37
		-180
		-84,32
		113,37

Выбирая максимальное значение критерия для каждого состояния, мы получим оптимальное решение на данном шаге итерации.

Мы получили ту же политику улучшения что и на предыдущем шаге, следовательно, данная политика будет являться оптимальной.

Ответ:

Оптимальная политика состоит в следующем:

Если станок находится в хорошем состоянии, то лучше использовать капитальный ремонт, если станок находится в удовлетворительном или плохом состоянии, то лучше использовать замену на новый.

Данная политика обеспечивает максимальный суммарный доход в 213 ден. единиц.

⇐ Предыдущая 1 23