Геометрическая иллюстрация.. Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Правило Лопиталя

Геометрическая иллюстрация.

Из : . Таким образом, если во всех точках дуги AB существует касательная, то на этой дуге найдётся точка C между A и B, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A и B.

Пример: Проверьте, применима ли теорема Лагранжа к функции на отрезке . Если окажется, что теорема применима, найдите точку c, в которой выполняется равенство (1).

Решение. Функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует точка , такая, что выполняется равенство (1).

Находим значения , , , .

По формуле (1) получаем:

Находим корни квадратного уравнения , т.е. . Получаем , , где . Таким образом, .

Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)

Теорема Коши. Если функция и :

1) непрерывны на отрезке ;

2) дифференцируемы на интервале ;

3) для всех ;

то существует, по крайней мере, одна точка , такая, что

Пример: Пусть , , , . Составьте формулу Коши и найдите значение c.

Решение. Проверим условия теоремы Коши:

1) и непрерывны на отрезке ;

2) и дифференцируемы на интервале ;

3) для всех .

Тогда существует точка , такая, что .

Находим значения , , , , , , , .

Получаем: .

Правило Лопиталя

Теорема 1 (правило Лопиталя). Пусть функции и на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке , то есть . Тогда, если существует предел отношения при , то существует и , причём .

Теорема 1 применяется для раскрытия неопределённости вида .

Примеры:

1) 2)

Замечание 1. Если и производные и удовлетворяют тем условиям теоремы 1, которые были наложены на функции и , то приходим к формуле

и т.д.

Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в том случае, если , .

Теорема 2. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы при всех в окрестности точки , причём производная для точек данной окрестности, , и существует . Тогда существует и