Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



ЛЕКЦИЯ 5: «ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ»

Стр 1 из 3Следующая ⇒


ЛЕКЦИЯ 5: «ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ»

Теорема о корнях производной (теорема Ролля)

Теорема Ролля. Если функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) ;

то существует, по крайней мере, одна точка , для которой .

Геометрическая иллюстрация.

Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках  и , то на этой кривой найдётся, по крайней мере, одна точка , в которой касательная параллельна оси Ox.

Замечание 1. Теорема остается справедливой и для такой дифференцируемой функции, которая на концах отрезка  не обращается в нуль, но принимает равные значения .

Замечание 2. Все три условия теоремы необходимы.

1) Нарушено первое условие, функция  имеет разрыв в точке ,  для всех .

2) Нарушено второе условие теоремы,  не существует,  для всех .

3) Нарушено третье условие теоремы, ,  для всех .

Пример:Проверим, применима ли теорема Ролля к функции  на отрезке . Найдём точку c, в которой .

Функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале , ;

3) .

Тогда существует точка , такая, что .

В качестве точки c можно выбрать также .

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)

Теорема Лагранжа. Если функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

то существует, по крайней мере, одна точка , такая, что

.                                    (1)


123Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.