Теоретические сведения.

Теоретические сведения.

Функция называется непрерывной в т. , если . Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Линией уровня функции называется линия на плоскости , в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел:

Аналогично определяется частная производная функции по переменной .

Полный дифференциал функции находится по формуле:

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка:

Функция от переменных и является неявной, если она задается уравнением , неразрешенным относительно .

Частные производные функции двух переменных , заданной неявно с помощью уравнения , находятся по формулам:

, .

Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке , имеющий своими координатами частные производные функции :

где и - взаимноперпендикулярные векторы единичной длины, задающие направление координатных осей Ох и Оу соответственно.

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.

Касательной плоскостью к поверхности в т. М (точке касания) называется плоскость, в которой лежат все касательные прямые к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная касательной плоскости.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением , с точкой касания , записывается в виде:

Уравнение нормали к поверхности, проходящей через точку касания :

Если уравнение поверхности задано в виде , то уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Минимумы и максимумы функции называются ее экстремумами.

Необходимое условие экстремума функции: если дифференцируемая функция достигает экстремума в т. , то ее частные производные 1-го порядка в этой точке равны нулю: