Питання на іспит з математичного аналізу

Питання на іспит з математичного аналізу

(семестр 2)

Змістовий модуль 4 "Диференціальне числення ФВА"

Означення

Простори: метричний, векторний нормований, евклідів

1. Означення метричного простору. Приклади.

2. Компактна множина.

3. Повний метричний простір.

4. Стискаючий оператор. Нерухома точка оператора.

5. Означення векторного нормованого простору. Приклади.

6. Означення евклідового простору. Приклади.

Функції векторного аргументу (ФВА)

7. Границя функції в точці.

8. Функція, неперервна в точці.

9. Функція, рівномірно неперервна на множині.

10. Частинна похідна в точці.

11. Диференціал. Функція, диференційовна в точці.

12. Градієнт. Похідна функції в напрямі.

13. Похідні і диференціали вищих порядків.

14. Диференційовність відображення . Матриця Остроградського–Якобі. Якобіан.

15. Екстремуми: внутрішній локальний, умовний, глобальний.

Твердження

Простори: метричний, векторний нормований, евклідів

1. Лема про об’єднання і перетин відкритих множин. (З доведенням).

2. Теорема про векторні послідовності. Повнота простору .

3. Принцип стискаючих відображень.

4. Лема про метризовність векторного нормованого простору. (З доведенням).

5. Нерівність Коші–Буняковського–Шварца. (З доведенням).

Функції векторного аргументу

6. Границя суми, добутку і частки функцій.

7. Локальні властивості неперервних функції.

8. Глобальні властивості неперервних функцій (теореми: Больцано–Коші про проміжне значення, Вейєрштрасса, Кантора).

9. Зв’язок між неперервністю, диференційовністю та існуванням скінченних частинних похідних.

10. Достатня умова диференційовності. (З доведенням).

11. Теорема про обчислення похідної в напрямі. (З доведенням).

12. Похідна суми, добутку і частки функцій. (З доведенням).

13. Похідна складної функції. (З доведенням).

14. Теорема Шварца про рівність мішаних похідних. (З доведенням).

15. Формула Тейлора. (З доведенням).

16. Теореми про неявну функцію.

17. Необхідна умова внутрішнього локального екстремуму. (З доведенням).

18. Достатня умова внутрішнього локального екстремуму. Критерій Сильвестра. Випадок функції двох змінних.

19. Умовний екстремум скалярної функції векторного аргументу: метод виключення, метод невизначених множників Лагранжа.

20. Найбільше і найменше значення функції на множині.