Линейные и билинейные функции на линейном пространстве

§5. Линейные и билинейные функции на линейном пространстве

1°. Определение функции. Линейные функции.

Определение 1. Будем говорить что, на линейном пространстве задана функция (от одного вектора), если поставлено в соответствие число. Будем говорить, что на задана функция двух векторов, если упорядоченной паре поставлено в соответствии число.

Обозначение: .

Замечание 1. Функции на бесконечно мерных пространствах принято называть функционалами.

Замечание 2. Обычно под функцией понимают величину инвариантную относительно замены базиса, т.е. такую, что она не меняется при переходе от одного базиса к другому. А именно, если в базисе ставится в соответствие первая координата, то это не функция, так как зависит от выбора базиса.

Пусть –мерное линейное пространство, и в нем задан некоторый базис. Тогда определяется координатами функция при фиксированном базисе задаётся как обычная функция n переменных. При переходе к другому базису она изменяется.

Определение 2. Функция , заданная на линейном пространстве , называется линейной, если

1. ,

2. , .

Пример.

1°. Если , , то – линейная функция.

2°. Если , , то эта функция не является линейной.

Пусть –мерное линейное пространство и – фиксированный базис может быть записан в базисе . Значение функции может быть записано в базисе:

Здесь числа не зависят от выбора , а определяются лишь базисом. Таким образом, доказано следующее утверждение.

Лемма 1.Каждая линейная функция на –мерном линейном пространстве в произвольном базисе задаётся линейным однородным многочленом

(1)

от компонент вектора по этому базису. Коэффициенты многочлена (1) есть значения функции на базисных векторах.

Часто вместо линейной функции говорят линейные формы!

Числа будем называть компонентами (коэффициентами) функции в базисе . Итак, .

Формулу (1) можно записать в виде

Выясним, как меняются компоненты функции при переходе к новому базису. Пусть и связаны формулами перехода .

Тогда

(2)

то есть компоненты линейной функции преобразуются также как и базисные векторы.

Покажем, что такое преобразование компонентов линейной функции обеспечивает инвариантность её значений. Напомним, что если .

Тогда , т.е. численное значение функции при изменении базиса сохраняется.

2°. Билинейные функции на линейном пространстве.

Определение 3. Билинейной функцией (или билинейной формой) на линейном пространстве называется функция от двух векторов :

1°. При фиксированном , – линейная функция ;

2°. При фиксированном , – линейная функция .

Иными словами,

Примеры:

1°. Рассмотрим пространство и пусть . Положим

где . Очевидно, что это билинейная форма.

2°. Пусть – пространство и .

Положим Это билинейная форма. Если

Задача. Показать, что если – линейные функции, то – билинейная.

Пусть мерное линейное пространство с базисом .

Если , то билинейная функция может быть вычислена следующим образом:

Здесь чисел являются значениями билинейной формы на всевозможных парах базисных векторов и называются коэффициентами билинейной формы в базисе . Если ввести матрицу билинейной формы, то есть матрицу , то