Решения задач и критерии проверки

1. В интернет-магазине «Всё из Китая» 1 ноября повысили цены на Айфон на х%, чтобы в Черную пятницу сделать на него скидку на 2х%. У Васи есть купон на скидку в х%, который, однако, не действует в Черную пятницу. «Вот мошенники!», подумал Вася, «Ведь зная об этом, я бы мог купить Айфон 31 октября дешевле, чем могу сейчас, в Черную Пятницу!». Прав ли он?

2. В пятиугольнике ABCDE каждая диагональ параллельна одной из сторон. Сторону AB продлили до пересечения с продолжениями сторон CD и DE, точки пересечения обозначили X и Y. Докажите, что АХ = BY.

3. Докажите, что натуральное число с четной суммой цифр можно представить как сумму двух слагаемых с одинаковыми суммами цифр.

4. 2019 человек из города рыцарей и из города лжецов собрались на площади, и вдруг кто-то, указав на другого, заявил: «Это лжец!». После чего каждый, про которого было сделано заявление, либо указал на ранее неназванного и заявил «Это лжец», либо указал на двух неназванных и заявил «Эти двое – из одного города!», либо промолчал. Кого было на площади больше, рыцарей или лжецов, если на каждого кто-то указал, а все промолчавшие оказались рыцарями?

5. 50 эльфов и 50 орков подошли к реке, у которой находится лодка, выдерживающая 300 кг, с одной парой весел. Грести умеют и эльфы, и орки, но эльф может грести, только если в лодке кроме него никого нет. Кроме того, эльф не согласен наедине оставаться или плыть с орками. Эльф весит 50, орк – 110 кг, одна переправа занимает 30 минут. За какое наименьшее количество часов им удастся переправиться?

6. В клетчатом прямоугольнике 20х19 по границам клеток проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная. В каждую клетку вписали, сколько её сторон лежат на ломаной. Было вписано поровну чисел 0, 1, 2 и 3. Докажите, что
а) есть звено ломаной, идущее по границе прямоугольника;
б) общая длина таких звеньев не менее 2.

Решения задач и критерии проверки

1. Ответ: нет, не прав.

Решение. 31 октября Вася купил бы Айфон за 1–х, а в Черную пятницу – за
(1+х)(1–2х) = 1–х–2х², что меньше.

12 3 Следующая ⇒