Задача 1.

Стр 1 из 3Следующая ⇒

08.11.2021г. 10 класс. Геометрия. «Параллельность прямой и плоскости».

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости

Аксиома А2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости

Из аксиомы А2 вытекают три случая взаимного расположения прямой и плоскости.

1) Прямая а целиком лежит в плоскости α: (Рис. 5.).

Рис. 5.

2) Прямая а имеет одну общую точку с плоскостью α: . Другими словами, прямая а и плоскость α пересекаются (Рис. 6.).

Рис. 6.

3) Прямая a не имеет общих точек с плоскостью α: (Рис. 7.).

Рис. 7.

Определение параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Пояснение к признаку.

Дана плоскость , прямая а, которая параллельна прямой b, лежащей в плоскости (Рис. 8.). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, этого достаточно, чтобы прямая а была параллельна всей плоскости.

Рис. 8.

Утверждение 1

Из данного признака вытекает два утверждения, полезных для решения задач.

Утверждение 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Пояснение утверждения

Дана плоскость и прямая а, которая параллельна плоскости (Рис. 9.). Через прямую а можно провести много плоскостей, которые пересекают плоскость . Проведем через прямую а плоскость . Согласно утверждению, линия пересечения плоскостей и – прямая b будет параллельна прямой а.

Рис. 9.

Утверждение 2

Утверждение 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Пояснение утверждения

Есть две параллельные прямые а и b и плоскость . Одна из параллельных прямых, например, прямая а, параллельна плоскости . Отсюда следует, согласно утверждению, что прямая b либо параллельна плоскости (Рис. 10.), либо лежит в плоскости (Рис. 11.).

Рис. 10.

Рис. 11.

Задача 1

Задача 1.

Параллельные прямые а и b лежат в плоскости . Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости .

Дано: а || b,

Доказать:

Рис. 12.

Доказательство: (Рис. 12.)

Точка А прямой с, принадлежит и прямой а, а значит, и плоскости . Точка В прямой с принадлежит прямой b, а значит, и плоскости . Так как две точки прямой с принадлежат плоскости , то и вся прямая лежит в плоскости , в силу аксиомы А2.

Задача 2

12 3 Следующая ⇒