Лемма Гейне-Бореля.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Лемма Гейне-Бореля.

Будем говорить, что семейство интервалов .

Служит покрытием отрезка [a; b] или покрывает отрезок [a; b] если .

Следующие утверждения также выражает собой свойство полноты вещественных чисел и называется: лемма Гейне-Бореля.

Лемма 8.1

И всякого покрытия S отрезка [a, b] интервалами, можно выбрать конечное количество интервалов, покрывающее [a, b].

Доказательство:

Заметим, что любой отрезок [a, b’] [a, b] покрывается семейством интервалов S. В - некоторые множества правых концов всех отрезков вида [a, b], где b’ b. Где из покрытия S можно выбрать конечное подпокрытие (конечное число интервалов).

Очевидно, что B - не пустое множество , поскольку левый конец a отрезка [a, b] покрывается некоторого интервалом I из семейства S. И внутри интервала всегда можно найти отрезок [a, b’]

Пусть . Очевидно, что .

Докажем, что в этом неравенстве на самом деле равенство:

Предположим обратное:

Из семейства S можно выбрать интервал, покрывающий точку и число такое, что:

целиком располагался бы в интервале I ( отрезок содержится в интервале I и отрезке [a, b])

По свойству верхней грани (Sup B) множества B, существует такой элемент, который удовлетворяет неравенству: .

Отрезок [a, ] покрывается конечным числом интервалов, так как .

В этот же момент отрезок покрывается интервалом I. Поэтому отрезок покрывается конечным числом интервалов из семейства S ( ). Это значит, что , что противоречит условию .