![]()
|
|||
Грани числовых множеств.Стр 1 из 3Следующая ⇒ Грани числовых множеств. Множество Число, а называется при этом верхней/нижней границей множества. наименьшая верхняя/ наибольшая нижняя граница множества X обозначается sup X/inf X. Т 7.1 Из определений очевидно, что множество не может иметь более одного супремума или инфинума. Непустое ограниченное сверху снизу множество X имеет единственную верхнюю и нижнюю Грань Доказательство: Пусть множество X ограниченное сверху, а Y множество всех верхних границ. Множество X и Y удовлетворяют всем условиям полноты. Действительно, они не пустые и кроме того для любого На основании всего полноты существует вещественное число ξ:
первое неравенство показывает, что ξ - верхняя граница для X, а второе - что ξ – наименьшая верхняя граница Y. Следовательно: ξ =Sup X. Если бы существовала еще одна верхняя грань для множества X, то То есть: верхняя грань единственна. Существование нижней граней и доказательство единственности доказывается аналогично. Теорема доказана Свойства верхней и нижней граней: I. 1) 2)
Второе свойство говорит о том, что II. 1) 2) Первое свойство говорит о том, что нижняя грань Второе свойство говорит о том, что Верхняя и нижняя грани обобщают понятия наибольших и наименьших элементов множества. Если во множестве существует наибольший или наименьший элемент, то он автоматически является верхней или нижней гранью множества. В дальнейшем условимся считать, что, если множество X не ограничено сверху, то В таком случае, любое множество имеет верхнюю или нижнюю грань, при этом: множество, ограниченное сверху, имеет конечную верхнюю грань, а множество ограниченное снизу - конечную верхнюю грань.
|
|||
|