ББК 32.973 20 страница

2. Следующая визуальная задача — разбить каждую часть уравнения на смысловые блоки, т. е. выделить и опознать члены уравнения. Сегодня мы решаем эту задачу, фиксируя взором зрительные зоны, расположенные между знаками сложения и вычитания. Последние, выполняя функцию разделителей, моментально расчленяют уравнение, превращая его в гирлянду, состоящую из отдельных членов, “склеенных” с помощью символов + и –. У Диофанта дело обстоит гораздо хуже. Использование знака в качестве минуса трудно признать удачным. А полное отсутствие знака “плюс” — это уже бедствие, которое приводит к визуальной неоднозначности.

В самом деле, современное выражение х2 + 3х по Диофанту записывается так:

В последней формуле присутствуют три пары из двух смежных букв. Все они трактуются по-разному, что создает неоправданную нагрузку на память человека:

! запись обозначает х2;

! запись обозначает операцию сложения, причем в записи складываются члены ;

! запись обозначает умножение х ´ 3.

Столь сложные правила расшифровки зрительной сцены вносят дополнительные и никому не нужные трудности в процесс зрительного восприятия.

3. Три класса объектов (неизвестные, цифры и операции) имеют сходные обозначения (всюду — буквы), что затрудняет визуальное различение указанных классов и кристаллизацию соответствующих понятий.

4. Не существует обозначений для нуля, плюса и степеней неизвестной выше шестой.

5. Степени неизвестной величины обозначаются не путем вариации одного знака (x, x2, x3, x4, x5, x6), но имеют неоправданные различия и отсутствие общих элементов. В итоге нет визуальной подсказки, облегчающей опознание и выявление “родственных черт” у сходных понятий (степеней).

6. Отсутствует единая символика для чисел и показателей степени. Например, цифра 3 обозначается через , а x3 — через , но в последнем выражении цифра 3 отсутствует.

Проведенный анализ показывает, что по эргономическим показателям символика Диофанта значительно уступает современным обозначениям.

ЭРГОНОМИЗАЦИЯ АЛГЕБРЫ
ПОСЛЕ ДИОФАНТА

Алгебра Диофанта для своего времени была крупнейшим достижением. Однако ее постигла печальная участь. Оригинал на греческом языке в Европе был утерян и вновь найден только в XV веке [4]. К счастью, идеи Диофанта получили распространение в арабском мире и вернулись в Европу кружным путем — через арабское культурное влияние. При этом многое было утеряно и переоткрыто заново.

Важным этапом на пути эргономизации европейской алгебры была замена греческих цифр на арабские. Самый древний европейский манускрипт, содержащий эти десять цифр, — “Вигиланский кодекс”, написанный в Испании в 976 г. Однако по ряду причин, которых мы не касаемся, арабская система счисления распространялась в Европе очень медленно и стала общепринятой лишь к 1500 г. [6].

К сожалению, имело место и попятное движение. Целый ряд эргономических находок Диофанта на несколько столетий был забыт. В частности, оказалась утраченной его буквенная символика, уступившая место словесным описаниям. Например, Леонардо Пизанский (1180—1240) называет неизвестную res (вещь) или radix (корень), квадрат неизвестной — census (имущество) или quadratus (квадрат); данное число — numerus. Все это — латинские переводы соответствующих арабских слов [6].

Наваждение слов преследовало математиков многие века. Поскольку не существовало символов даже для самых простых арифметических действий, каждый автор по-своему записывал сложение и вычитание, возведение в степень и извлечение корня. Требовалось немало усилий, чтобы разобраться в таком сложном переплетении форм записи. Поэтому ученые доверяли больше словам, чем знакам, тяготели больше к словесным описаниям, чем к формулам.

Однако мало-помалу формульная запись начала пробивать себе дорогу. Но, Боже, что это были за формулы! Например, уравнение записывалось в XV веке во Франции таким образом [7]:

Смысл уравнения ясен из переводной табл. 13.

Обратите внимание: в данном случае явное обозначение для неизвестной величины отсутствует — она в уравнении не записывается, а только подразумевается! Это серьезный эргономический недостаток. Есть и другой дефект: окончание подкоренного выражения никак не обозначено — его надо запоминать, что создает неоправданную нагрузку на память читателя.

Таблица 13

Французское обозначение XV века	Современное обозначение
R2
	4x2
	+
	4x
	2x

exaluxa	=

Однако двинемся дальше. В 1489 г. в учебнике арифметики Яна Видмана впервые в печатном издании появились символы + и –, введенные чуть раньше немецкими алгебраистами (коссистами).

Франсуа Виет (1540—1603) придумал знаки для произвольных величин, называемых сегодня параметрами, и предложил правило: неизвестные обозначать гласными буквами, а параметры — согласными (табл. 14).

Таблица 14

Уравнение в записи Виета	Современная запись уравнения
A cubus + B planum in A7 aequatur C solidum

В табл. 14 planum и solidum — паразитные слова, которые можно безболезненно опустить[26]. Сделав это, получим

A cubus + B in A7 aequatur C

Последнее выражение можно легко понять с помощью переводной табл. 15. Нетрудно видеть, что запись уравнений у Виета неэргономична, громоздка и словообильна.

Таблица 15

Обозначение Виета	Современное обозначение
A	х
A cubus	x3
in	Знак умножения
aequatur	=
A7	7x
B in A7	7Bx
C	C

Тем не менее дело потихоньку двигалось вперед. Английский математик Р. Рекорд (1510—1558) придумал знак равенства =. Томас Гарриот (умер в 1621 г.) сделал следующий эргономический шаг, полностью исключив словесные описания. Уравнение в записи Гарриота имело “почти современный” вид

aaa – 3.baa + 3.bba = 2.bbb

Следующее эргономическое новшество принадлежит Рене Декарту. Он обозначил неизвестные величины буквами х, у, z, а известные — буквами a, b, c и ввел обозначения степеней: х3, х4, а3, а4. Правда, квадраты он иногда выражал с помощью символов xx, aa. Обозначение корня несколько отличается от современного: знак означает у Декарта кубический корень. Есть и другие недостатки: Декарт “испортил” знак равенства, изображая его как µ [4].

ОСОЗНАНИЕ ПОЛЕЗНОСТИ
ЭРГОНОМИЧЕСКОГО ПОВОРОТА В МАТЕМАТИКЕ

Подведем некоторые итоги. Эргономизация алгебры очень важна. Как отмечает голландский историк математики Дирк Стройк, “новые результаты часто становятся возможными лишь благодаря новому способу записи... Подходящее обозначение лучше отображает действительность, чем неудачное, оно оказывается как бы наделенным собственной жизненной силой, которая в свою очередь порождает новое. За усовершенствованием алгебраических обозначений Виета поколение спустя последовало применение алгебры к геометрии у Декарта” [6].

С ним согласен В. Катасонов: «Весь XVI век проходит под знаком настойчивых поисков удобной (читай — эргономичной!) алгебраической символики, которая позволила бы создать некое “исчисление” для решения задач... без излишней траты умственных сил, механически следуя простым правилам».

Суть эргономизации алгебры не только и не столько в том, что она выработала очень компактные и достаточно удобные обозначения, но прежде всего в том, что эргономичные знаки и (что самое главное) их эргономичные комбинации образуют эргономичные зрительные сцены (диосцены), которые точно и строго отражая математическую реальность, вместе с тем гораздо лучше согласуются с нейробиологическими характеристиками человеческого глаза и мозга, что создает важные предпосылки для улучшения творческой продуктивности человеческого ума.

Известно, что “прогресс науки... связан с созданием и совершенствованием символики. В свою очередь, сам этот прогресс зависит от того, насколько компактна и совершенна та знаковая система, которая отображает существенные свойства и черты реальности” [7].

Конечно, каждый отдельно взятый символ не может играть слишком большой роли. Но вся совокупность символов в целом, взаимоотношения между которыми складываются по вполне определенным правилам, — это уже целый язык, новая знаковая система. В таком едином ансамбле знакам присущи новые эргономические и иные свойства, которых не имеет каждый из них в отдельности.

Эргономическая сущность замены словесных описаний на эффективные и компактные алгебраические формулы состоит в том, что происходит “удивительная рационализация визуального поля” [7]. В результате в оптическом поле одномоментного восприятия, визуального охвата оказывается значительно большая информация в удобной и доступной для восприятия форме. Это означает, что имеет место эффект симультанизации, который, как мы знаем, является одним из наиболее мощных рычагов, обеспечивающих ускорение работы мозга. Согласно взглядам Лазаря Карно, математические знаки “не являются только записью мысли, средством ее изображения и закрепления, — нет, они воздействуют на саму мысль, направляют ее и бывает достаточно переместить их на бумаге согласно известным, очень простым правилам, чтобы безошибочно достигнуть новых истин”. Логика знаковых преобразований наталкивает людей “на глубокие, не всегда привычные взаимосвязи явлений” [7].

Кроме того эргономизация алгебры включает в себя все ходы мысли, связанные с дроблением и вычленением новых понятий, доведением их до логического совершенства. Приведем пример. Алгебра Декарта неэргономична еще и потому, что он использовал неудачное определение понятия “коэффициент”, полагая, что все буквенные коэффициенты в алгебраических формулах положительны. Это ограничение имело вредные последствия. Например, если p > 0 и q > 0, уравнение в записи Декарта полностью отвечает современным требованиям и является вполне эргономичным (если забыть про неудачный знак равенства):

Если же знак коэффициента произволен, Декарт вводит странные многоточия [4]:

Эти никому не нужные многоточия, усложняющие символику, являются следствием неудачного определения понятия “буквенный коэффициент”. Чтобы устранить недостаток, надо улучшить определение, т. е. сделать его более эргономичным. Для этого будем считать, что буквы в уравнениях обозначают любое действительное число[27]. При таком определении нелепые многоточия становятся ненужными и исчезают, превращаясь (как и положено) в знаки + и –. Данный пример показывает, что эргономизация понятий в свою очередь может оказывать благотворное влияние на эргономичность обозначений.

ЭРГОНОМИЧЕСКАЯ ПОБЕДА ЛЕЙБНИЦА

Понятие эргономизации является универсальным: оно применимо не только к алгебре, но и ко многим другим вопросам. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим еще один пример, связанный с эргономизацией исчисления бесконечно малых.

Почти одновременное изобретение дифференциального и интегрального исчислений Лейбницем и Ньютоном явилось восхитительным достижением. Однако в противоположность удобным обозначениям Лейбница символика Ньютона оказалась громоздкой и эргономически неудачной. К чему это привело? Как пишет историк математики М. Кроу, “общее мнение британских математиков XIX в. состояло в том, что
к 1800 г. континентальные математики далеко превзошли английских главным образом потому, что обозначения Лейбница в математическом анализе оказались лучше Ньютоновых” [8]. Этот факт еще раз подтверждает, что когнитивное качество знаковых систем сильно влияет на интеллектуальную продуктивность.

Ньютон был гением идеи, а Лейбниц — не только гением идеи, но и гением символики. Стремясь построить “всеобщую характеристику” (универсальный язык), он пришел ко многим новшествам в математических обозначениях. Лейбниц — один из самых плодовитых изобретателей математических символов. Немногие так хорошо понимали единство формы и содержания. Именно это внимание к знаку, к формальной стороне метода позволило Лейбницу сформулировать ряд важных положений математического анализа: это и знаменитая формула Лейбница для дифференцирования произведения, и многое другое. Только со времен Лейбница в математике стали широко использоваться знаки “·”, “:” для умножения и деления. Он же ввел в обиход символы log, ∫ , d для логарифма, интеграла и дифференциала. Символы Лейбница настолько ясно выражали смысл и значение новых понятий, что легко привились и стали общепринятыми [6, 7].

Речь, разумеется, идет не только о выборе одиночных обозначений (буквенных или иных), но прежде всего о правилах построения суперзнаков. Мы используем термин “суперзнак” для обозначения правил комбинирования одиночных символов и правил их взаимного расположения в двумерном поле бумажной страницы, позволяющих получить полезный формальный или смысловой результат. Таким образом, суперзнак — это диосцена либо ее смысловой фрагмент. Примером суперзнака является выражение

а также любые формулы или цепочки формул, частью которых является указанное выражение[28].

Лейбниц хорошо понимал, что создание эффективных знаков и суперзнаков и пользование ими заключает в себе огромные возможности. Как бы предвосхищая будущие достижения когнитивной эргономики и семиотики, открывающие и облегчающие путь к мощным интеллектуальным прорывам, он пишет: “Общее искусство знаков, или искусство обозначения представляет собой чудесное пособие, так как оно разгружает воображение... Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это большей частью бывает, когда обозначения коротко выражают и как бы отображают интимнейшую суть вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли”.

Поучителен известный спор Лейбница с Вагнером.

Лейбниц. Удобная символика очень много значит для науки.

Возражение Вагнера. Умный справится с любой задачей и без вспомогательных средств, а неумному не помогут никакие руководства.

Ответ Лейбница. Я уверен, что плохая голова, упражняясь в использовании вспомогательных средств [знаков], может превзойти самую лучшую, подобно тому как ребенок может провести линию по линейке лучше, чем самый искусный мастер от руки. Гениальные же умы, снабженные такими преимуществами, пошли бы несравненно дальше.

Школа Лейбница была “гораздо более блестящей, чем школа Ньютона” [6]. Что касается эргономически неудачной символики Ньютона, то она потерпела полный крах. Впрочем, поначалу деканы Кембриджа и Оксфорда рассматривали любую попытку своих студентов использовать обозначения Лейбница как нечестивый бунт против священной тени Ньютона. В итоге ньютонова школа в Англии и школа Лейбница на континенте настолько разошлись, что Леонард Эйлер в своем “Интегральном исчислении” (1768 г.) рассматривал объединение обоих способов записи, как бесполезное. Но эта преграда была сломлена в 1812 г. группой молодых кембриджских математиков, среди которых был и Чарльз Бэббедж, которого иногда называют отцом современной вычислительной техники. Они пытались, говоря словами Бэббеджа, проповедовать принципы чистого d-изма[29] в противоположность университетскому dotage (игра слов: dotage — старческое слабоумие; с другой стороны,
dot — точка, age — эпоха; получается dotage — эпоха точек; более чем прозрачный намек на Ньютоновы обозначения производных ) [6]. Справедливости ради добавим, что символика Ньютона полностью не исчезла: с позором изгнанная из математического анализа, она тем не менее иногда применяется в теоретической механике.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА
ИСТОРИКОВ МАТЕМАТИКИ

История математики показывает, что многие разделы этой науки стали успешно разрабатываться только после того, как были введены удобные (эргономичные) знаки, способствующие развитию соответствующих рассуждений и построений. Так, Джузеппе Пеано настаивал на важном значении символического обозначения во всяком математическом предложении, его полезности в трудных и тонких вопросах. Стефен Клини совершенно правильно отмечает: “Открытие простых символических обозначений, которые сами приводят к манипуляциям по формальным правилам, явилось одним из путей, на которых развивалась мощь современной математики”.

Отсюда вытекает, что длительный исторический процесс изобретения, изменения, улучшения и реконструкции математической символики нельзя рассматривать как нечто второстепенное для математических исканий. Данный процесс (эргономический по своей природе) в немалой степени отражает волнующий путь зарождения и развития новых математических идей и понятий, он теснейшим образом связан с сокровенными тайнами математического творчества. Изучение названного эргономического процесса должно стать одним из важных направлений истории математики, если она хочет претендовать на статус научной дисциплины, удовлетворяющей современным междисциплинарным требованиям.

К сожалению, в работах по истории науки в целом (и по истории математики в частности) эта сторона дела нередко выпадает из поля зрения ученых. Во многих публикациях господствует “модернизаторский” подход, когда старинные формулы и чертежи грубо искажаются в результате некритического перевода на современный язык. При этом эргономическая драма древних обозначений и понятий полностью ускользает от внимания исследователя. Например, в работе Б. Спасского даже чертеж Галилея, при помощи которого тот решал свою задачу, сильно изменен и упрощен и все изложение ведется на современном языке [9]. Отто Нейгебауэр довольно резко замечает: “Только в последнее время ученые, вслед за А. Ромом и А. Делаттом, начали публиковать тексты вместе с рисунками и обозначениями на них. Кроме этих недавних исключений, ни одному изданию верить нельзя, во всяком случае в отношении вида, буквенных обозначений и даже наличия рисунков” [10]. Пример сознательно модернизированного издания — Арифметика Диофанта. Например, символ Диофанта □ (неопределенный квадрат) переделан на понятный современному читателю лад х2 (переменная x
во второй степени) [9].

Модернизированные издания древних математических рукописей позволяют быстро проследить ход решения задач и математических преобразований в современных обозначениях. Однако достигается это слишком дорогой ценой. Важнейшая задача историко-математического исследования — реконструкция математического мировоззрения древних авторов — остается невыполненной, так как отказ от старинных обозначений зачастую до неузнаваемости искажает старинную систему понятий. Другой недостаток состоит в том, что исследователь, упуская из виду междисциплинарный характер стоящей перед ним задачи, как бы “перепрыгивает” через ее самый трудный участок (который можно охарактеризовать как историко-эргономический анализ эволюции математических понятий и символики) и тем самым полностью лишает себя возможности выявить и тщательно исследовать эргономическую суть проблемы. В результате историко-математическое исследование не достигает цели и по крайней мере частично превращается в неумышленную фальшивку.

АНАЛОГИЯ МЕЖДУ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ДИОСЦЕНОЙ И ПАНЕЛЬЮ
ОТОБРАЖЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ

Вспомним некоторые сведения из “классической” эргономики.

Рассмотрим работу оператора, управляющего реакторным отделением атомной электростанции. Оператор трудится за пультом управления, на котором — наряду с другим оборудованием — размещается комплекс средств отображения информации, обеспечивающий выдачу оператору итоговой информации о работе реактора в виде, удобном для использования. Средства отображения информации представляют оператору возможность работать с информационной моделью объекта (реактора), которая должна быть адекватна реальной ситуации и соответствовать закономерностям и характеристикам человеческого восприятия, памяти, мышления. Модель должна быть наглядной, чтобы позволить человеку-оператору понять суть проблемной ситуации быстро, без трудоемкого анализа. При этом информация должна предъявляться человеку в “разжеванном виде” и не требовать от него дополнительного перекодирования в более понятную форму [11].

На основании теоретического анализа и обширного практического опыта специалисты по эргономике разработали многочисленные и весьма ценные правила, которым должна удовлетворять форма представления информации для человека-оператора [11, 12].

А теперь зададим вопрос: есть ли что-либо общее у двух, казалось бы, столь непохожих объектов, как панель отображения информации и страница математического текста? Оказывается, есть, причем можно указать четыре общих свойства. Во-первых, и панель индикации, и
математический текст представляют собой диосцены. Во-вторых, они несут информацию, предназначенную для зрительного восприятия.
В-третьих, целью восприятия является понимание важной информации человеком. Наконец, в-четвертых, крайне желательно представить информацию в таком виде, чтобы человек мог достичь понимания за
минимальное время ценою минимальных интеллектуальных усилий в соответствии с критерием Декарта.

Исходя из сказанного, можно сделать четыре вывода.

! Система “математик — математический текст” в определенном отношении похожа на систему “оператор — средства отображения
информации”.

! Математический текст и отображаемая на пульте информация являются аналогами, ибо представляют собой разные формы кодирования оптической информации, предназначенной для зрительного восприятия.

! Чтобы улучшить понимаемость математического текста, следует попытаться использовать разработанные в инженерной психологии эргономические правила, применяемые при проектировании средств отображения информации.

! В тех случаях, когда указанные правила “не работают”, следует доработать и улучшить когнитивно-эргономическую теорию, расширив ее возможности применительно к проектированию интересующих нас систем “человек—знание” (рис. 139).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ И ЭРГОНОМИЧЕСКАЯ
ЭФФЕКТИВНОСТЬ

Вся математическая литература по определению представляет собой диоинформацию. Математические знания, которые мы получаем при помощи компьютерного экрана, принтера и плоттера, — это тоже диоинформация. Таким образом, в 99% случаев человек получает математические знания в форме диоинформации. Учитывая этот факт и опираясь на положения нового когнитивного подхода (см. гл. 5), можно предложить семь тезисов.

Тезис 1. В подавляющем большинстве случаев математические идеи, теории и методы (за исключением тривиальных) становятся достоянием математического сообщества после представления их в письменном виде, предназначенном для визуального восприятия, т. е. после того, как математическая мысль приобрела форму диоинформации.

Тезис 2. Математическая диоинформация — совокупность диосцен, каждую из которых можно рассматривать как суперзнак. Суперзнак — осмысленная двумерная комбинация знаков, целиком находящаяся в поле зрения.

Тезис 3. Математическая диосцена обладает двумя фундаментальными свойствами. Во-первых, она несет определенное смысловое содержание и отображает математическую реальность. Во-вторых, это оптическая зрительная сцена, предназначенная для зрительного восприятия человеком.

Тезис 4. Отсюда вытекает, что форма математической диосцены есть объект двойного назначения. Во-первых, отражая математическую реальность, она должна обеспечить выполнение формальных операций со знаками, преобразование знаков по определенным правилам, позволяющим получить полезный математический результат. Во-вторых, именно форма знаков и суперзнаков позволяет получить конечный результат зрительного восприятия, понимание человеком сущности математических идей и преобразований.

Тезис 5. Разрушение или искажение формы приводит к двум “катастрофам”: 1) математическое содержание пропадает, превращаясь в ничто, в бессмыслицу; 2) осмысленное восприятие человеком математической диосцены рассыпается, понимание исчезает, а сама диосцена воспринимается как абсурдный набор бессодержательных пятен и линий.

Рис. 139. Чтобы спроектировать эффективную систему “человек—знание”, необходимо видоизменить и улучшить диосцену, т. е. согласовать характеристики диосцены с характеристиками человеческого глаза и мозга

139

Тезис 6. Следует различать два понятия: 1) математическая эффективность диосцены; 2) эргономическая эффективность диосцены.

Первая имеет место, если диосцены и связанные с ними математические идеи и знаковые системы позволяют получить полезный математический результат, удовлетворяющий критерию математической строгости и другим разумным математическим критериям.

Эргономическая эффективность имеет место, если удовлетворяется эргономический критерий Декарта, т. е. если человек может ценою минимальных интеллектуальных усилий либо воспринять и усвоить математическое содержание последовательности диосцен (если речь идет об изучении математического материала), либо с помощью указанных диосцен решить соответствующую математическую задачу (если речь идет не об изучении, а о решении новых задач).

Тезис 7. Органический, принципиально неустранимый дефект понятия математической эффективности состоит в том, что оно почти полностью игнорирует проблему понимаемости математических текстов и связанный с нею критерий Декарта. Если на земном шаре отыщется пара суперматематиков, способных понять новую сложную математическую идею, этого вполне достаточно, чтобы дать ей путевку в жизнь. (При этом “мучения” всех остальных специалистов и студентов, связанные с трудностями понимания, категорически не принимаются в расчет.)

Понятие эргономической эффективности математики вводится для того, чтобы облегчить и упростить процесс понимания сложных математических проблем, создать научную основу для введения понятия “производительность математического труда” и на этой основе обеспечить реальное повышение продуктивности работы ума математиков, а также миллионов людей, изучающих эту сложную науку.

Утрируя, можно предложить вымышленный диалог.

— Почему математика такая трудная?

— Потому что до сих пор никто не пытался создать научно-обоснованный метод, позволяющий сделать ее более легкой.

КАК ПОВЫСИТЬ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ТРУДА?

Развитие математики и логики увенчалось созданием богатого набора формальных правил, использование которых позволяет решать обширный класс математических и логических задач. При разработке этих правил математики преследовали две цели. Первая цель была основной и явно выраженной: обогатить математическое знание. Вторая цель состояла в том, чтобы сделать знаковые системы и математические преобразования по возможности удобными и обозримыми. Эта вторая (эргономическая) цель была скорее интуитивной, чем осознанной и научно обоснованной.

⇐ Предыдущая 40 41 42 43 444546 47 48 49 Следующая ⇒