НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Если функция собственно интегрируема либо в промежутках (при любых ), либо в промежутках (при любых ), либо как в первых, так и во вторых промежутках, то для каждого из этих случаев по определению несобственных интегралов, соответственно имеем:

, ,

(*)

Если при имеет конечный предел, то говорят, что в этом случае несобственный интеграл существует или сходится.

Если при не имеет конечного предела, то говорят, что в этом случае несобственный интеграл не существует или расходится.

Аналогичным образом определяются понятия сходимости или расходимости интеграла .

Равенство означает, что если каждый из несобственных интегралов, стоящих в правой части его, существует (сходится), то существует (сходится) и несобственный интеграл, стоящий в левой части равенства.

В противном случае, если хотя бы один из интегралов, стоящих в правой части равенства , будет расходящимся, то будет расходиться и интеграл .

ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ НА ОТРЕЗКЕ

[a, b] ФУНКЦИЙ

Если функция имеет бесконечный разрыв при и собственно интегрируема на отрезках при любых как угодно малых , то по определению несобственного интеграла (для данного случая) имеем:

Если функция имеет бесконечный разрыв при , , и непрерывна при и , то несобственный интеграл представляется в виде:

(**)

Если существует, то несобственный интеграл от функции , имеющей бесконечный разрыв в точке , существует и сходится, в противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично решается вопрос о сходимости или расходимости несобственного интеграла от функции, имеющей бесконечный разрыв на левом конце промежутка интегрирования, т. е. при .

Равенство представляет несобственный интеграл от функции, имеющей бесконечный разрыв в некоторой внутренней точке отрезка интегрирования , в виде суммы двух несобственных интегралов от функции, имеющей бесконечный разрыв лишь на одном из концов отрезка интегрирования, определение которых дано выше.

Если оба несобственных интеграла, стоящих в правой части формулы , существуют (сходятся), то существует (сходится) и несобственный интеграл, стоящий в левой части этой формулы.

В противном случае, если хотя бы один из интегралов, стоящих в правой части равенства ,будет расходящимся, то будет расходиться и интеграл , стоящий в левой части этого равенства.

ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ

НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Если в результате замены переменной интегрирования несобственный интеграл представляется в виде интеграла, существующего в собственном смысле, то тогда и исходный несобственный интеграл существует, т. е. является сходящимся.

2. Применение основной формулы интегрального исчисления (формулы Ньютона–Лейбница)

Если первообразная для подынтегральной функции имеет конечный предел при предельном переходе, используемом в определении несобственного интеграла того или иного типа, то соответствующий интеграл сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.

Например:

а) если – первообразная для функции и существует конечный предел , то интеграл сходится и равен

Тем самым показывается, что и для несобственного интеграла этого типа в таком случае оказывается справедливой формула Ньютона–Лейбница;

б) если – первообразная для функции , неограниченной в окрестности точки , и существует конечный предел , то несобственный интеграл сходится и равен

= .

Тем самым показывается, что и для несобственного интеграла этого типа в таком случае оказывается справедливой формула Ньютона–Лейбница.

Аналогично выше приведенным примерам формула Ньютона–Лейбница может быть применена при вычислении и других типов несобственных интегралов (или при установлении их расходимости) в случае существования (или несуществования) конечных пределов первообразной для подынтегральной функции при соответствующих предельных переходах.

3. Непосредственно применяя формулу Ньютона–Лейбница, легко получить, что:

а)

б)

в)

4. Признаки сравнения для положительных подынтегральных функций

При формулировке признаков сравнения и следующего за ними предельного признака сравнения под промежутком интегрирования мы подразумеваем как конечный промежуток, так и бесконечный, т. е. могут быть как конечными числами, так и бесконечностями с соответствующим знаком; также, говоря об особой точке сравниваемых подынтегральных функций, мы подразумеваем под ней либо конечную точку, в которой сравниваемые функции терпят бесконечный разрыв, либо бесконечно удаленную точку. Кроме того, под предельным переходом (где – особая точка: либо , либо ) мы подразумеваем тот односторонний предельный переход, который используется в определении исследуемого на сходимость несобственного интеграла, т. е. либо ( ), либо ( ).

С учетом этого замечания признаки сравнения для положительных подынтегральных функций в общем случае могут быть сформулированы следующим образом:

Теорема сравнения I. Если в окрестности особой точки имеет место неравенство , то:

а) из сходимости несобственного интеграла следует сходимость несобственного интеграла ;

б) из расходимости несобственного интеграла следует расходимость несобственного интеграла .

Теорема сравнения II. (Предельный признак сравнения):

а) если существует предел

то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно;

б) в частности, если ~ при , то и одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемы на промежутке .

Замечание: относительно предельного перехода , фигурирующего в этом предельном признаке сравнения, смотрите замечание, приведенное в начале предыдущего пункта, где приведены непредельные признаки сравнения.

5. Признаки Коши (для положительных подынтегральных функций).

I. Пусть для достаточно больших функция имеет вид Тогда:

1) если и , то интеграл сходится,

2) если и , то интеграл расходится.

Более удобная для практики частная форма сформулированных признаков Коши, такова:

если при функция является бесконечно малой порядка по сравнению с , то интеграл сходится или расходится в зависимости от того, будет ли, или .

II. Пусть для достаточно близких к (либо к ) значений функция имеет вид

, .

Тогда:

1) если и , то несобственный интеграл сходится,

2) если и , то несобственный интеграл расходится.

Более удобная для практики частная форма сформулированных признаков Коши, такова:

если при (при ) функция является бесконечно большой порядка по сравнению с
(по сравнению с ), то несобственный интеграл сходится или расходится в зависимости от того, будет ли соответственно или .

6. Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

Если сходится в промежутке интегрирования (конечном или бесконечном) несобственный интеграл от , то сходится и несобственный интеграл от самой функции , при этом несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, а сама функция – абсолютно интегрируемой в .

Так как то при установлении абсолютной сходимости несобственных интегралов можно пользоваться признаками сравнения, предельным признаком сравнения и признаками Коши, сформулированными для положительных подынтегральных функций.

Если функция абсолютно интегрируема в промежутке (конечном или бесконечном), а функция ограничена в этом промежутке, то и произведение будет функцией абсолютно интегрируемой в промежутке .

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1.Вычислить определенный интеграл .

Решение (интегрирование подведением под знак дифференциала).

Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций , где имеет очевидную первообразную , а есть функция этой первообразной: , , т. е.

, , ,

но

тогда

где .

Ответ. .

Задача 2. Вычислить определенный интеграл .

Решение(интегрирование по частям).

Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций , где имеет очевидную первообразную , а – дифференцируемая функция, причем ее производная является более простой функцией, чем .

В данном случае , , , . Применим формулу интегрирования по частям:

Последний интеграл не является табличным, но к нему можно повторно применить формулу интегрирования по частям. Теперь

, , , ,

Ответ. .

Задача 3. Вычислить определенный интеграл

Решение (интегрирование выражений ).

Поскольку функция определена на , сделаем универсальную тригонометрическую подстановку . Подставляя в подынтегральное выражение

; ; ,

получим .

Находим новые пределы интегрирования . Применим формулу замены переменной в определенном интеграле:

Ответ. .

Задача 4. Вычислить определенный интеграл

Решение(интегрирование выражений

Чтобы сделать подстановку, приводящую к интегралу от рациональной функции, нужно преобразовать подынтегральную функцию так, чтобы она содержала корни любой степени, но из одного и того же выражения вида . Поэтому преобразуем подынтегральное выражение, выделяя , затем применим подстановку , , , , :

= =

Ответ.

Задача 5. Вычислить определенный интеграл .

Решение(интегрирование выражений и

Для избавления от радикала используют тригонометрические или гиперболические подстановки. В данном случае применим подстановку . Тогда

, , ,

, поскольку при .

Сделаем замену переменной в определенном интеграле:

Ответ. .

Задача 6. Оценить интеграл .

Решение. Имеем: при , тогда , т. е. согласно теореме об оценке определенного интеграла , , . Следовательно, . Ответ. .

Задача 7. Оценить интеграл .

Решение. Воспользуемся обобщенной теоремой об оценке определенного интеграла. Пусть , .

Производная обращается в нуль при и меняет знак в этой точке с минуса на плюс. Следовательно, функция имеет в этой точке минимум. Максимума функция достигает на концах отрезка и . Таким образом, выполняется система неравенств: , а при строгие неравенства: . Поэтому, применяя обобщенную теорему об оценке определенного интеграла, получим:

или, окончательно, .

Ответ. .

Задача 8. Найти , если .

Решение. Функции и определены, непрерывны, а следовательно, дифференцируемы . Причем и . Тогда согласно теореме о дифференцировании определенного интеграла имеем:

Ответ. .

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒