![]()
|
|||||||
Предисловие. Список рекомендуемой литературы. ЧАСТЬ I. ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ. И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛСтр 1 из 3Следующая ⇒ Предисловие Данный типовой расчет состоит из трех частей: 1) вычисления определенных и несобственных интегралов; 2) геометрические приложения определенных интегралов; 3) физические приложения определенных интегралов, приближенное вычисление определенных интегралов. В каждой части типового расчета приводится справочный материал, который можно использовать при выполнении расчетных заданий, примеры решения типовых задач, варианты индивидуальных заданий. Приведен список рекомендованной литературы. В справочный материал данного типового расчета помещены основные определения и математические факты, непосредственно касающиеся задач, приведенных в индивидуальных заданиях.
Список рекомендуемой литературы
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1963, 1966. – Т. 2, 3. 2. Демидович Б.Н. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Изд-во «АСТ», 2007. 3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов В.Х. Математический анализ. Ч.1 – М.: Юрайт, 2013. 4. Убодоев В.В., Иринчеев А.А., Макунина Т.А., Телешева Л.А. Математический анализ: неопределенный и определенный интеграл. – Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2010. 5. Ошоров Б.Б. Одномерный математический анализ: Учебное пособие. – Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2009.
ЧАСТЬ I
ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (в смысле Римана) Если функция
где Функции а) непрерывная на б) ограниченная на в) ограниченная монотонная на – интегрируемы на любом конечном отрезке Если функция ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: если 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой из слагаемых функций:
3. При перемене местами нижнего и верхнего пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на обратный (его абсолютная величина при этом не изменяется):
отсюда следует, что
4. Для любых трех чисел
если все три интеграла существуют. 5. Если
6. Если
7. 8. Теорема об оценке определенного интеграла. Если: а) б) во всем этом промежутке
9. Обобщенная теорема об оценке определенного интеграла. Если: а) б) во всем этом промежутке в)
10. Теорема о среднем. Пусть: а) б) во всем этом промежутке
где
Если, кроме того, функция
11. Обобщенная теорема о среднем. Пусть: а) б) во всем этом промежутке в)
где Если к тому же функция
ТЕОРЕМА О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Если: а) б)
В частности, если
ним пределом является одной из первообразных функций
ФОРМУЛА НЬЮТОНА–ЛЕЙБНИЦА Если функция определена и непрерывна на отрезке
ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ФОРМУЛ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ (Следует из теоремы об инвариантности формы первого дифференциала функции.) Всякая формула неопределенного интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т. е. если Из этой теоремы следует следующий метод замены переменной в определенном интеграле в форме, в которой этот метод еще называется методом подведения под знак дифференциала.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Метод подведения под знак дифференциала Пусть: а) функции Тогда, если подынтегральное выражение
Метод подстановки Можно производить замену переменной в определенном интеграле, выражая не новую переменную Для этого сформулируем следующее правило: Если в промежутке
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ Если
здесь
|
|||||||
|