Задание №19 ЕГЭ по математике базового уровня

Задание №19 ЕГЭ по математике базового уровня

Свойства чисел

Задание №19 ЕГЭ по математике весьма необычно. Для его решения необходимо применить знания в области теории чисел. Тем не менее, задание является весьма решаемым, однако для школьников с оценкой хорошо и ниже я рекомендовал бы оставить это задание на последнюю очередь. Перейдем к рассмотрению типового варианта.

Разбор типовых вариантов заданий №19 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 19МБ1

Найдите трехзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь оно такое число.

Алгоритм выполнения:

Ввести условные обозначения.
Записать условия с помощью условных обозначений.
Преобразовать полученные выражения.
Логически рассуждая перебрать все возможные варианты, проверить их соответствие условиям.

Решение:

Обозначим первую цифру числа x, а вторую – y. Тогда третье число с учетом суммы цифр равной 20 будет равно 20 – (x + y). (x + y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится.

По условию сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Запишем сумму квадратов цифр:

x ² + y² + (20 – (x + y))²

Преобразуем полученное выражение. Преобразуем квадрат разности с учетом формулы приведения.

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

(20 – (x + y))² = 400 -40(x + y) + (x + y)²

Подставим получившееся выражение в начальное, получим:

x ² + y² + (20 – (x + y))² = x ² + y² + 400 — 40(x + y) + (x + y)²

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x + y)²= x² + 2xy + y²

Подставим:

x ² + y² + (20 – (x + y))² = x ² + y² + 400 — 40(x + y) + (x + y)²= x ² + y² + 400 — 40(x + y) + x²+ 2xy + y²

Приведем подобные слагаемые (сложим x²с x²и y^{2 с}y²), получим:

x ² + y² + 400 — 40(x + y) + x²+ 2xy + y²= 2x ² + 2y² + 2 · 200 — 2 · 20(x + y) + 2xy

Вынесем множитель 2 за скобку:

2x ² + 2y² + 2 · 200 — 2 · 20(x + y) + 2xy = 2(x ² + y² + 200 — 20(x + y) + xy)

Для удобства объединим 200 и 20(x + y) и вынесем 20 за скобку, получим:

2(x ² + y² + 20(10 — (x + y)) + xy)

Множитель 2 – четный, поэтому он никак не влияет на делимость на 3 или 9. Можем его не брать в расчет и рассматривать выражение:

x ² + y² + 20(10 — (x + y)) + xy

Предположим, что и x, и y делятся на 3. Тогда x ² + y² + xy делится на 3, а 20(10 — (x + y)) – не делится. Следовательно, и вся сумма x ² + y² + 20(10 — (x + y)) + xy на 3 не делится.

Предположим, что на 3 делится только одна цифра. Тогда, учитывая, что (x + y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится, подберем возможные пары.

(3;8), (6;5), (6;7), (6;8), (9;2), (9;4), (9;5), (9;7), (9;8).

Методом подстановки проверим, соответствуют эти пары условию.

x ² + y² + 20(10 — (x + y)) + xy = 3 ² + 8² + 20(10 — (3 + 8)) + 3 · 8 = 9 + 64 – 20 + 24 = 77

x ² + y² + 20(10 — (x + y)) + xy = 6 ² + 5² + 20(10 — (6 + 5)) + 6 · 5 = 36 + 25 – 20 + 30 = 71

x ² + y² + 20(10 — (x + y)) + xy = 6 ² + 7² + 20(10 — (6 + 7)) + 6 · 7 = 36 + 49 – 60 + 42 = 67

x ² + y² + 20(10 — (x + y)) + xy = 6 ² + 8² + 20(10 — (6 + 8)) + 6 · 8 = 36 + 64 – 80 + 48 = 68

x ² + y² + 20(10 — (x + y)) + xy = 9 ² + 2² + 20(10 — (9 + 2)) + 9 · 2 = 81 + 4 – 20 + 18 = 83

x ² + y² + 20(10 — (x + y)) + xy = 9 ² + 4² + 20(10 — (9 + 4)) + 9 · 4 = 81 + 16 – 60 + 36 = 73

Ни одна из полученных сумм не удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9».

Следующие пары можно не проверять, так как они дают уже имеющиеся тройки цифр. Предположим, что ни одна из цифр числа не делится на 3. Возможные пары:

(4;7), (5;7), (5;8), (7;8).

Проверим:

x ² + y² + 20(10 — (x + y)) + xy = 4 ² + 7² + 20(10 — (4 + 7)) + 4 · 7 = 16 + 49 – 20 + 28 = 73

x ² + y² + 20(10 — (x + y)) + xy = 5 ² + 7² + 20(10 — (5 + 7)) + 5 · 7 = 25 + 49 – 40 + 35 = 69

Сумма 69 удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9». Следовательно, подходят цифры 5,7,8 в любом порядке.

Ответ: 578

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒