Контакты

Случайная статья

Производная сложной функции. Теорема 22..1.. Пример 22.1.. Дифференциал сложной функции. инвариантностью формы первого дифференциала.. Производная обратной функции. Теорема 22.2.. Доказательство.

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Лекция 22

22.1. Производная сложной функции

Теорема 22..1.

Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке и имеет место формула:

или или . (22.1)

Замечание 1. Если , то , где ,

, - дифференцируемые функции своих аргументов.

Пример 22.1.

Вычислить производную сложной функции .

,

, , тогда

.

22.2. Дифференциал сложной функции

По определению, (*).

Если , , т.е., то

.

Таким образом, равенство (*) справедливо для сложной функции, т.е. когда - зависимая переменная.

Это свойство называется

инвариантностью формы первого дифференциала.

22.3. Производная обратной функции

Теорема 22.2.

Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и пусть в этой точке существует и не равна нулю производная функции ( ). Тогда обратная функция имеет производную в точке , причем: . (22.2)

Доказательство.

Из существования и непрерывности функции следует, что обратная функция существует и непрерывна в окрестности точки . Следовательно

.

Тогда , то есть выполняется равенство (22.2).

Геометрический смысл производной обратной функции

Рассмотрим в окрестности точки график функции . Известно, .

Тогда если , или ,

то - угол наклона касательной к оси .

Поскольку , то

.

12 3 Следующая ⇒

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.