![]()
|
|||||||||
Выполнение упражнений3. Выполнение упражнений a) Исследуйте функцию и постройте ее график: f (x)= x4-2х2-3. 1) D (f) =R. 2) f(-x)= (-x)4-2(-x)2-3 = x 4-2х2-3; f(-x)= f(x), значит, функция f является четной. Исследование ее можно проводить на промежутке [0; 3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, то есть решим уравнение x 4-2х2-3 = 0. Пусть х2 =у, у2-2у-3= 0, у=3 или у=-1, то есть х2=3, х= 4) Найдем производную f '(x) = 4x 3-4х = 4х(х-1)(х+1). 5) Найдем критические точки функции: а) f ' (x) =0, если 4х (х-1) (х+1)=0, <=> x = 0; x = -1; x = 1. б) f ' определена на всей D(f). - + - + 6) Определим знак производной на промежутках -1 0 1 (- а) f '(-2) = -32+8 < 0; б) f '(-1/2) = 4 * (-1/2)3 -4 * (-1/2)= -1/2 + 2 > 0; в) f '(1/2) = 4 * (1/2)3 -4 * (1/2)= 1/2 - 2 < 0; г) f '(2) = 4 * 8 - 4 * 2 > 0. Найдем значения функции в точках -1; 0; 1: f (-1)=-4- min, f(0)=-3- max, f(1)=-4 -min. Построим график (самостоятельно) b) Найти число корней уравнения: 2x 3-3x 2-12х-11=0 Решение: Рассмотрим функцию f(x)= 2x 3-3x 2-12х-11=0. 1) Найдем область определения функции: D (f) = (- 2) Найдем ее производную: f '(x) = 6x 2-6х-12 3) Найдем критические точки функции: f '(x) =0, если 6x 2-6х-12=0, <=> x = -1; x = 2. 4) На промежутке (- На промежутке [-1; 2] уравнение так же не имеет корней, так как на этом промежутке функция убывает от -4 до -31. На промежутке [2; c) Сколько корней имеет уравнение: x 4/4 -x 3- x 2/2 +3х = 0 Решение: Рассмотрим функцию f(x) = x 4/4 -x 3- x 2/2 +3х: 1) Найдем область определения функции D(f) = (- 2) Найдем производную f ' (x) = x 3- 3x 2 -x+3 3) Найдем критические точки и промежутки возрастания и убывания функции: f ' (x) = 0 <=> x 3- 3x 2 -х+3=0 <=> x 2(х-3) -(х-3)=0 <=> (х-3)( x 2-1) = 0 <=> х=3, х1=1, х2=-1. Рис. (знаки f ') Из рисунка видно, что: f(x) возрастает на интервалах [-1; 1] и [3; +
![]() 4) Найдем точки экстремума и экстремумы функции: х=-1 min f min= 1/4+1-1/2 -3=-9/4 < 0, x= 1 max f max= 1/4 -1-1/2+3 =1 3/4 > 0, х=3 min f min= 81/4-27-9/2+9= -27/2 < 0. Строим эскиз графика Из рисунка видно, что многочлен имеет 4 корня, следовательно, уравнение имеет 4 решения.
|
|||||||||
|