Математическая разминка. Теоретический минимум

Информационная карта к уроку

Тема: Применение производной в исследовании функции для построения графика.

Цель: научиться исследовать функции с помощью производной и строить графики.

1. Математическая разминка

На рисунке изображён график производной функции y= f '(x), определенной на интервале (−8;8).

Найдите промежутки возрастания и убывания функции и количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4;6].

2. Теоретический минимум

1. Алгоритм нахождения промежутков монотонности

1) Найти производную функции f '(x) и найти точки, в которых производная не существует.

2) Решить уравнение f '(x) =0 и найти критические точки.

3) Нанести на числовую ось критические точки и найти знаки производной на полученных интервалах.

4) Выписать в ответ интервал возрастания (со знаком +) и интервал убывания (со знаком -).

2. Алгоритм нахождения экстремумов

1) Найти производную функции f '(x) и найти точки, в которых производная не существует.

2) Решить уравнение f '(x) =0 и найти критические точки.

3) Нанести на числовую ось критические точки и найти знаки производной на полученных интервалах.

4) Найти значения максимума (для точек, в окрестности которых меняется знак производной с + на - ) и значения минимума (для точек, в окрестности которых меняется знак производной с - на + ).

3. Алгоритм полного исследования функции

1) Найти область определения функции.

2) Найти область значений функции. Обычно этот пункт пропускают или заполняют после исследования на экстремумы.

3) Исследовать непрерывность функции, выделить особые точки (точки разрыва).

4) Найти точки пересечения с осями координат.

5) Найти нули функции.

6) Установить, является ли функция чётной или нечётной. Сделать выводы о симметричности графика функции.

7) Установить, является ли функция периодической или нет. Обычно проверяют для тригонометрических функций, для других данный пункт пропускается.

8) Найти первую производную. Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

9) Найти дополнительные точки.

10) Построить график функции.

12 3 Следующая ⇒