Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

Дифференциальные уравнения второго порядка

§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

     Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами  имеет общее решение , где  и  линейно-независимые частные решения этого уравнения.

     Общий вид решений однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , зависит от корней характеристического уравнения .

Корни характеристического уравнения	Вид общего решения
Корни  и  действительные и различные
Корни  =  =  действительные и одинаковые
Корни комплексные ,

Пример

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

1)

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни ,  действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

2)  

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни  действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид: .

3)  

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни  комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

     Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиимеет вид

, где .         (1)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  имеет вид , где  – частное решение этого уравнения,  – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения .

Вид частного решения  неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части :

Правая часть	Частное решение
– многочлен степени	, где  – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
	, где  – число, показывающее, сколько раз =  является корнем характеристического уравнения.
	, где  – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с .
	где  – число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :

1. Пусть правая часть имеет вид , где  – многочлен степени . Тогда частное решение  можно искать в виде , где  – многочлен той же степени, что и , а  – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения  не равен нулю ( ), то частное решение ищем в виде , где  и  – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды  и подставляя ,  и  в исходное уравнение, находим .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в обеих частях равенства , , находим , . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

2. Пусть правая часть имеет вид , где  – многочлен степени . Тогда частное решение  можно искать в виде , где  – многочлен той же степени, что и , а  – число, показывающее, сколько раз  является корнем характеристического уравнения.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями  характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде , где  – неизвестный коэффициент. Дифференцируя дважды  и подставляя ,  и  в исходное уравнение, находим . Откуда , то есть  или .

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

3. Пусть правая часть имеет вид , где  и  – данные числа. Тогда частное решение  можно искать в виде , где  и  – неизвестные коэффициенты, а  – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с . Если в выражение функции  входит хотя бы одна из функций  или , то в  надо всегда вводить обе функции.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями  характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде

, где  и  – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды , получим  и . Подставляя ,  и  в исходное уравнение, находим

.

Приводя подобные слагаемые, получим

.

Приравниваем коэффициенты при  и  в правой и левой частях уравнения соответственно. Получаем систему . Решая ее, находим , .

Итак, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид