Дифференциальные уравнения второго порядка
§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет общее решение , где и линейно-независимые частные решения этого уравнения.
Общий вид решений однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , зависит от корней характеристического уравнения .
Корни характеристического
уравнения
| Вид общего решения
| Корни и действительные и различные
|
| Корни = =
действительные и одинаковые
|
| Корни комплексные ,
|
|
Пример
Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:
1) 
Решение: Составим характеристическое уравнение: .
Решив его, найдем корни , действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид: .
2)
Решение: Составим характеристическое уравнение: .
Решив его, найдем корни действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид: .
3)
Решение: Составим характеристическое уравнение: .
Решив его, найдем корни комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид: .
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиимеет вид
, где . (1)
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид , где – частное решение этого уравнения, – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения .
Вид частного решения неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части :
Правая часть
| Частное решение
| – многочлен степени
| , где – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
|
| , где – число, показывающее, сколько раз = является корнем характеристического уравнения.
|
| , где – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с .
|
| где – число корней характеристического уравнения, совпадающих с .
|
Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :
1. Пусть правая часть имеет вид , где – многочлен степени . Тогда частное решение можно искать в виде , где – многочлен той же степени, что и , а – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
Пример
Найти общее решение .
Решение:
А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .
Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю ( ), то частное решение ищем в виде , где и – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя , и в исходное уравнение, находим .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства , , находим , . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .
2. Пусть правая часть имеет вид , где – многочлен степени . Тогда частное решение можно искать в виде , где – многочлен той же степени, что и , а – число, показывающее, сколько раз является корнем характеристического уравнения.
Пример
Найти общее решение .
Решение:
А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .
Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде , где – неизвестный коэффициент. Дифференцируя дважды и подставляя , и в исходное уравнение, находим . Откуда , то есть или .
Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .
3. Пусть правая часть имеет вид , где и – данные числа. Тогда частное решение можно искать в виде , где и – неизвестные коэффициенты, а – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с . Если в выражение функции входит хотя бы одна из функций или , то в надо всегда вводить обе функции.
Пример
Найти общее решение .
Решение:
А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .
Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде
, где и – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды , получим и . Подставляя , и в исходное уравнение, находим
.
Приводя подобные слагаемые, получим
.
Приравниваем коэффициенты при и в правой и левой частях уравнения соответственно. Получаем систему . Решая ее, находим , .
Итак, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .
Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид
|