Задача К2

Рис. К1

и при t=1 c : V_1x= 2 см/c, V_1y = 2 см/c, V₁ = 2,83 см/c. (3)

Аналогично найдем ускорение точки :

и при t=1 c a₁_x = 0 см/c², a₁_y = 2 см/c², a₁ = 2 см/c². (4)

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство V²=V²_x+V²_y. Получим

и . (5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t₁=1 c a₁_t= 1,4 см/с².

Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные числовые значения a₁ и a₁_t, получим, что при t₁= 1 а_1n= 1,43 см/с².

Радиус кривизны траектории r = V²/a_n. Подставляя сюда числовые значения V₁ и a_1n, найдем, что при t₁=1 c r₁=5,59 см.

Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1, 2, связанных ременной передачей, зубчатой рейки 3 и груза 4, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0 - К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно : у колеса 1- r₁ = 2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2 - r₂ = 6 см, R₂ = 8 см. На ободьях колес расположены точки А и В.

В столбце “Дано” таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где j₁(t) - закон вращения колеса 1, s₃(t) - закон движения рейки 3, w₂(t) - закон изменения угловой скорости колеса 2, v₄(t) - закон изменения скорости груза 4 и т.д. (везде j выражено в радианах, s - в сантиметрах, t - в секундах). Положительное направление для j и w - против хода часовой стрелки, для s₃, s₄ и v₃, v₄- вниз.

Определить в момент времени t₁ = 2 c указанные в таблице в столбцах “Найти” скорости (v - линейные, w - угловые) и ускорения (а- линейные, e - угловые) соответствующих точек или тел (v₄ - скорость груза 4 и т.д.).

Указания. Задача К2 - на исследование вращательного движения

Таблица К2

Номер	Дано	Найти
условия		скорости	ускорения
	s₄ = 4(7t - t²)	v_A, v_B	e₁, a_A, a₃
	v₄ = 2(t² - 3)	v_A, v_B	e₂, a_B, a₃
	j₁ = 2t² - 9	v₃, w₁	e₂, a_B, a₄
	w₂ = 7t - 3t²	v₄, w₁	e₂, a_B, a₄
	j₂= 3t - t²	v₃, w₂	e₂, a_A, a₄
	w₁ = 5t - 2t²	v₄, v_A	e₂, a_B, a₃
	j₁ = 2(t² - 3t)	v₃, w₂	e₂, a_B, a₄
	V₃ = 3t² - 8	v_B, w₁	e₁, a_A, a₄
	s₄ = 2t² - 5t	v₃, w₁	e₁, a_B, a₃
	w₁ = 8t - 3t²	v₄, v_A	e₁, a_B, a₃

твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R₂ и r₂ и колесо 3 радиуса R₃, скрепленное с валом радиуса r₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце ( рис. К2). Рейка движется по закону s₁=f( t ).

Дано: R₂=6 см, r₂=4 см, R₃=8 см, r₃=3 см, s₁=3t³ (s - в сантиметрах, t - в секундах), А - точка обода колеса 3, t₁=3 c.

Определить: w₃, v₄, e₃, a_A, в момент времени t=t₁.

Рис.К2

Решение.Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R_i), через v_i, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r_i), - через u_i.

Определяем сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:

v₁= = 9t². (1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то v₂=v₁ или w₂R₂=v₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u₂=v₃ или w₂r₂=w₃R₃. Из этих равенств находим

, . (2)

Тогда для момента времени t₁=3 c получим w₃=6,75 c^-1.

Определяем v₄. Так как v₄=v_B=w₃r₃, то при t₁=3 c v₄=20,25 см/c.

Определяем e₃. Учитывая второе из равенств (2), получим

e₃= = 1,5t. Тогда при t₁=3 c e₃=4,5c^-2.

Определяем a_A. Для точки А , где численно a^t_A=R₃e₃, aⁿ_A=R₃w₃². Тогда для момента времени t₁=3 c имеем

a^t_A= 36 см/c², aⁿ_A = 364 см/c²; =366 см/c².

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис.К2.

⇐ Предыдущая 1 2 3 45