СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

В приведенных ниже схемах 1-30 рассматривается движение точки М в желобе вращающегося тела. По заданным в таблице уравнениям относительного движения ОМ(t), переносного движения φ(t) и геометрическим размерам определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в указанный момент времени.

№ вар.	ОМ(t), м	φ(t), рад	R или l, м	t , с
	t² - t	0,5t² + t
	5π(2t² + t)	2t²
	5(t² - t)	0,5t² + t
	5π(t² - 3)	3t² - 8t
	10πt²	2t² - t
	15π(t² - 2t)	6t – 4t²
	t² + 3t - 1	2t² - 3t
	t³ – 4t	0,5t²
	2t³ – t	4t – t²
	t³ – t	4t – t²
	2t² + 2t	0,5t²
	4t² + 6t	2t² - 6t
	5π(2t² - t)	t² + t
	t² - 2t + 1	0,5t² + 2t
	5π(t² - 2)	2(t² - t)
	15πt²	t² + t
	5π(2t² - t)	t² + t
	t³ - 2t² + 8	3t² - 8t
	8t² - 2t	4t²		0,5
	10πt²	4t² - 2t
	t⁴ – 4t	3t² - 8t
	3t² - t	t² + 3t
	10sin(πt/6)	t²
	10π(t² - t)	4t² - 2t
	10πt²	2t² - t
	5πt²	t² + t
№ вар.	ОМ(t), м	φ(t), рад	R или l, м	t , с
	20πt²	t² + t
	- 3t²	4(t² - 3t)
	3 ( t² + t – 1)	t² - t
	4t²	2t – 0,5t²

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

ЗАДАЧА 1

Тело D движется поступательно вдоль оси х так, что координата его точки меняется как х_D = t³ + t², м (рис. 10).

По желобу ОА, который представляет собой дугу окружности радиуса R = 20 м тела движется точка М так, что длина дуги ОМ = s = 5πt², м. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость _α и абсолютное ускорение _α точки М.

Решение.

1. Определение _α . Согласно теореме

о сложении скоростей, абсолютная

скорость равна векторной сумме

относительной и переносной скоростей:

_α = .

Рис. 10 Относительную скорость точки

(скорость по отношению к телу D)

находим, вычисляя ее алгебраическое

значение как производную от дуговой

координаты по времени:

v_rτ = = = 10πt, и при t = 1 c

получаем v_r = │ │ = 10π 31,4 м/с.

Чтобы определить направление

этой скорости, следует установить,

где находится точка М в данный

Рис. 11 момент времени.

Вычисляя длину дуги │ОМ│_t₌₁_c = 5π м, определяем значение угла α:

α = = 45^о - точка М находится в середине дуги ОА (рис.11).

Скорость точки направлена по касательной к ее траектории (окружности) в сторону увеличения длины дуги (дуговой координаты), так как алгебраическое значение скорости положительно.

Переносной скоростью по определению будет скорость той точки

тела D, с которой в данный момент времени совпадает точка М.

В имеющемся случае поступательного движения тела скорости всех его точек одинаковы (это скорость тела D), и тогда, поскольку движение прямолинейное, переносную скорость можно найти как производную от координаты:

v_е = │ │ =│v_ex│ = = 3t² + 2t,

и при t = 1 c получаем v_е = 5 м/с. Направлена она по оси х, так как v_ex > 0.

Складывать векторы и удобнее всего с помощью проекций. Проектируя равенство _α = на оси (рис. 11), получаем

v _x = - v_rcos45^o + v_е = - 17,2; v _y = - v_rsin45^o = -22,2

и окончательно v = 28,1 м/с.

2. Определение _α. Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

_α = _r + _e + _cor .

В данном случае кориолисова ускорения _cor = 2 не будет, так как переносное движение поступательное и его угловая скорость ω_е = 0.

Относительное ускорение _r в общем случае будет складываться из касательного и нормального: _r = + .

Касательное относительное ускорение вычисляем через производную от алгебраического значения скорости:

= = 10 31,4 м/с и = │ │.

Ускорение направлено туда же, куда и скорость , так как знаки их алгебраических значений совпадают

(ускоренное движение).

Нормальное относительное ускорение

находим через скорость и радиус кривизны

траектории:

= = = 49,3 м/с².

Оно направлено к центру окружности

желоба (рис. 12).

Рис. 12

Переносное ускорение (поскольку движение тела D поступательное и прямолинейное) ищем, дифференцируя найденную ранее переносную скорость

= │ │ = │ │ = 6t + 2,

и при t = 1 с имеем = 8 м/с². Это ускорение совпадает по направлению с .

Проектируя на оси уравнение

= + + ,

получим проекции вектора абсолютного ускорения

= - cos45^o - sin45^o + - 49,1

= - sin45^o + cos45^o 12,7.

И окончательно = 50,7 м/с².

О т в е т: v 28,1 м/с; 50,7 м/с².

ЗАДАЧА 2

Тело D вращается в плоскости рисунка (рис. 13) вокруг оси О₁ так, что его угол поворота равен

φ_D = ( t² + 2t ) рад.

По желобу ОА движется точка М так, что алгебраическое значение длины дуги равно

ОМ = s = (25πt² - 5πt) см.

Желоб является окружностью радиусом R = 20 см, расстояние

│О₁А│ = b = 10 см. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость _α и абсолютное ускорение точки М.

Решение.

1. Определение _α . По теореме о сложении скоростей имеем

_α = .

Относительную скорость точки (скорость по отношению к телу D) находим, вычисляя ее алгебраическое значение как производную от дуговой

Рис. 13 Рис. 14

координаты по времени:

= = 50πt - 5π│_t₌₁_c = 45π см/с 1,41 м/с и v_r = │ │.

Чтобы найти ее направление, установим, где находится точка М. При

t = 1 c, получив ОМ = 20π см, устанавливаем, что длина дуги составляет половину длины окружности, то есть точка М находится в точке А желоба (рис.14).

Скорость точки направлена по касательной к ее траектории в сторону увеличения дуговой координаты, так как алгебраическое значение скорости положительно.

Переносной скоростью по определению будет скорость той точки вращающегося тела D, с которой совпадает точка М, то есть скорость точки А:

v_е = v_А= ω_еb,

где алгебраическое значение угловой скорости переносного движения равно

= = 2t + 2.

Таким образом, при t = 1 с получаем = = 4 с^-1 и v_е = 0,40 м/с. Алгебраическое значение угловой скорости положительно, следовательно, вращение происходит по направлению угла поворота. Переносная скорость направлена перпендикулярно отрезку О₁А по ходу вращения.

Поскольку векторы и направлены противоположно, то модуль абсолютной скорости равен v = v_r - v_е 1,01 м/с.

2. Определение _α. По теореме Кориолиса _α = _r + _e + _cor или

_α = + + + + _cor. (*)

Вычислим и покажем на рисунке все пять ускорений (рис. 15).

Относительное касательное ускорение вычисляем через его алгебраическое значение = = 50π см/с² 1,57 м/с².

Ускорение направлено

туда же, куда и скорость , так как

знаки их алгебраических значений

совпадают (ускоренное движение):

= │ │.

Относительное нормальное

ускорение направлено к центру

желоба и равно

= 9,99 м/с².

Переносное ускорение в

данном случае – это ускорение Рис. 15

точки А тела D.

Так как алгебраическое значение углового ускорения равно его модулю

= = 2 с^-2 = ,

то переносное вращательное ускорение получается

= b = 0,20 м/с².

Оно направлено перпендикулярно О₁А по ходу углового ускорения, и поскольку алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения совпадают по знаку (ускоренное вращение), следовательно, совпадает с .

Переносное центростремительное ускорение направлено к оси О₁ и равно = b = 1,60 м/с².

Кориолисово ускорение _cor = 2 , и его модуль равен

= 2 v_rsin( , ).

Так как вектор угловой скорости тела лежит на оси вращения, то в данном случае он перпендикулярен плоскости чертежа и угол между ним и вектором относительной скорости равен 90^о. Тогда

= 2 · 4 · 45π см/с² 11,3 м/с².

Направление кориолисова ускорения может быть найдено или по общему правилу для векторного произведения, или по специальному правилу Жуковского. В нашем случае достаточно повернуть скорость на 90^о по ходу вращения тела.

Сложение векторов произведем с помощью проекций. Спроектировав равенство (*) на оси, получим

= - + = 19,7; = - + = -1,37

и окончательно = 19,8 м/с².

О т в е т: v 1,01 м/с; 19,8 м/с².

ОТВЕТЫ

ЗАДАНИЕ К1

№	v, м/с	, м\с²
1.	0,375	0,654
2.	0,750	2,37
3.	0,833	7,14
4.	0,333	0,821
5.	0,267	0,444
6.	4,80	45,0
7.	0,833	1,91
8.	0,389	0,707
9.	8,00
10.	0,750	1,77
11.	0,500	2,77
12.	0,500	2,80
13.	0,400	0,632
14.	0,100	0,141
15.	0,575	0,718

№	v, м/с	, м\с²
16.	2,50	22,1
17.	0,262	0,417
18.	1,00	6,77
19.	0,514	0,573
20.	0,559	3,19
21.	5,30	72,4
22.	2,80	90,3
23.	0,150	0,335
24.	4,19	49,4
25.	0,600	4,33
26.	0,195	0,274
27.	0,800	4,75
28.	0,800	7,04
29.	0,667	1,90
30.	1,89	52,6

ЗАДАНИЕ К2

№	v_В, м/с	_В, м\с²	ω_АВ, 1/с	ε_АВ, 1/с²
1.	1,00	1,42	0,500	0,856
2.	1,00	5,00	0,866	3,03
3.	1,73	0,536	1,00	0,268
4.		0,810	0,450	1,35
5.	1,00	3,41	0,707	1,91
6.	0,577	0,385	0,577	0,962
7.		0,0520	0,150	0,513
8.	2,00	9,66	1,41	4,83
9.	2,00	4,31	1,00	1,58
10.	2,00	10,0	1,73	3,46
11.	3,46	12,5	2,00	4,93
12.		3,24	0,900	0,403
13.	3,00	10,7	2,12	3,09
14.	1,73	7,46	1,00	3,73
15.		1,30	0,750	1,33

№	v_В, м/с	_В, м\с²	ω_АВ, 1/с	ε_АВ, 1/с²
16.	1,15	4,23	1,15	1,92
17.	2,0	4,31	1,00	1,58
18.	4,00	52,0	3,46	24,2
19.	0,577	3,08	0,577	2,50
20.		0,360	0,300	1,84
21.	0,800	3,09	0,566	2,51
22.	1,15	1,92	1,15	0,386
23.		0,468	0,450	0,883
24.		1,44	0,600	1,62
25.	1,00	1,42	0,500	0,855
26.	0,800	0,0800	0,693	0,901
27.		0,208	0,300	1,05
28.	6,93	65,7	4,00	28,7
29.	1,00	2,14	0,259	0,536
30.	2,00	1,45	0,518	0,446

ЗАДАНИЕ К3

№	v , м/с	, м\с²
1.	39,0	78,1
2.
3.	33,5
4.	84,5
5.	87,0
6.
7.	5,43	15,6
8.	2,00	21,9
9.	5,39	19,7
10.	2,95	15,4
11.	4,47	12,7
12.	32,6	68,8
13.
14.	4,47	22,0
15.	42,3

№	v , м/с	, м\с²
16.	98,9
17.
18.	28,0
19.	10,8	72,4
20.	57,2
21.	42,5
22.	18,0
23.	9,77	30,6
24.	66,5
25.	77,3
26.	36,0
27.
28.	43,3
29.	15,0	33,5
30.	10,2	16,5

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………. 3

Правила оформления контрольных (расчетно-графических) работ………………………………………………………………………… 3

Литература…………………………………………………………………. 3

Задание К1. Простейшие виды движения твердого тела………………...4

Примеры решения задач. Простейшие виды движения твердого тела…..9

Задание К2.Плоскопараллельное движение твердого тела…………….12

Примеры решения задач. Плоскопараллельное движение твердого

тела…………………………………………………………………………..16

Задание К3.Сложное движение точки……….…………………………. 21

Примеры решения задач. Сложное движение точки………….………... 26

Ответы……………………………………………………………………...31

⇐ Предыдущая 1 2 3 45