ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для представленных на схемах 1-30 механизмов, состоящих из шатуна АВ длиной 2 м и двух ползунов, по заданным величинам скорости и ускорения ползуна А определить скорость и ускорение ползуна В и средней точки С шатуна, а также угловую скорость и угловое ускорение шатуна.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

ЗАДАЧА 1

Колесо радиуса r = 1 м катится без скольжения ускоренно по прямолинейному рельсу, имея в данный момент времени скорость центра

v_o = 1 м/с и ускорение центра = 1 м/с² (рис.3). Определить угловую скорость и угловое ускорение колеса, скорости и ускорения точек его обода

М₁, М₂, М₃, и М₄, а также установить положение МЦС и МЦУ колеса.

Рис. 3 Рис. 4

Решение.

1. Определение скоростей. У колеса, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности, МЦС (точка Р) находится в точке касания с этой поверхностью (рис 4). В данном случае это точка М₁ (М₁ = Р): v = 0.

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦС: v = ω│МР│, где ω - угловая скорость тела. Применяем эту формулу к точке О: v_о = ω│ОР│ = ωr , откуда ω = v_o/r = 1 c^-1.

Для точек М₂ и М₃ расстояния до точки Р одинаковы, поэтому одинаковы и модули скоростей этих точек:

v = v = ω│M₂P│ = ωr = v_o = м/с.

Скорость точки М₃ v = ω│M₃P│ = ω2r = 2v_o = 2 м/с.

Направления скоростей перпендикулярны отрезкам, соединяющим точки с МЦС.

Для вычисления скоростей можно было использовать также и теорему о сложении скоростей, выбрав в качестве полюса центр колеса: , где v_мо= ω│МО│. Скорость перпендикулярна отрезку МО и направлена по ходу вращения.

Можно было также пользоваться и следствием из этой теоремы о равенстве проекций скоростей точек на ось, проходящую через эти точки.

2. Определение ускорений. Вычислим сначала угловое ускорение колеса, формально дифференцируя выражение угловой скорости

ε = = 1 с^-2

В данном случае использован тот факт, что движение центра колеса прямолинейное и, следовательно, касательное ускорение точки = совпадает с полным ускорением.

Для вычисления ускорений точек колеса применим теорему о сложении ускорений: , выбрав в качестве полюса центр колеса. Вращательное ускорение точки относительно полюса = ε│МО│ и направлено перпендикулярно отрезку МО по ходу углового ускорения, а центростремительное =ω²│МО│ всегда направлено от точки к полюсу.

Тогда для точек М₁, М₂, М₃, и М₄ получим = εr = 1 м/с²,

= ω²r = 1 м/с². Направления их показаны на рис. 5.

Рис. 5 Рис. 6

Складывая в каждой точке три вектора, модули которых равны по

1 м/с², получаем = = 1 м/с², = = м/с².

3. Определение положения МЦУ. Найти положение МЦУ (точки Q, ускорение которой равно нулю) можно на основании известных положений:

а) все ускорения составляют один и тот же угол с направлениями из этих точек на МЦУ:

tg .

В данном случае tg = 1 и = 45^о. Повернув каждое ускорение на угол по ходу углового ускорения, мы на пересечении лучей и получим точку Q (рис. 6). Итак, МЦУ колеса при принятых исходных данных оказывается на середине отрезка М₁М₄;

б) ускорения точек пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦУ:

│МQ│.

В силу одинаковости расстояний до МЦУ в данном случае оказываются равны между собой модули ускорений = = , а также = . Из всех точек колеса самое большое ускорение будет иметь точка D (рис. 6 )

│DQ│= = 1 + м/с².

О т в е т:

ω = 1 с^-1; ε = 1 с^-2; v = 0; v = v = м/с;

v = 2 м/с; = = 1 м/с²; = = м/с².

ЗАДАЧА 2

Кривошип ОА длиной 0,2 м вращается

равномерно с угловой скоростью ω_ОА = 10 с^-1 и

приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Ползун

В движется по вертикали. Найти угловую скорость

и угловое ускорение шатуна, а также скорость и

ускорение ползуна в момент, когда кривошип и

шатун взаимно перпендикулярны и образуют с

вертикалью угол 45^о (рис. 7).

Рис. 7

Решение.

1. Определение скоростей. Вычислим скорость точки А как точки вращающегося кривошипа:

v_А = ω_ОА│ОА│ = 2 м/с.

Она направлена перпендикулярно ОА (рис. 8).

Скорость v_В ползуна направлена по

направляющей вертикально.

Для шатуна АВ, совершающего

плоское движение, теперь известны

направления скоростей двух его точек:

А и В. Восставляя перпендикуляры

к векторам этих скоростей, находим

точку Р их пересечения – МЦС шатуна.

Используя известную формулу

для скоростей точек при плоском Рис. 8

движении, получаем

v_А = ω_АВ│АР│; v_В = ω_АВ│ВР│.

Из треугольника АВР имеем

│АР│ = 1 м; │ВР│ = м, и тогда

ω_АВ = = 2 с^-1; v_В = 2 м/с.

2. Определение ускорений.

Вычислим сначала ускорение

точки А как точки кривошипа:

. Рис. 9

Здесь вращательное ускорение

= ε_ОА│ОА│ = 0, так как ε_ОА = _ОА = 0, поскольку ω_{ОА =}const.

Тогда полное ускорение точки А равно центростремительному

= 20 м/с²

и направлено к оси вращения – точке О (рис. 9).

Для вычисления ускорения точки В воспользуемся теоремой о сложении ускорений, взяв точку А в качестве полюса:

= . (*)

Центростремительное ускорение точки В в относительном вращениивокруг точки А по модулю равно

= 4 м/с², и направлено от точки В к полюсу – точке А.

Модуль вращательного ускорения определяется по формуле

= ε_АВ│АВ│ и пока не может быть вычислен, поскольку неизвестна величина углового ускорения ε_АВ. Направление вектора также не может быть определено однозначно, так как неизвестно направление углового ускорения, т.е. неизвестно, ускоренным или замедленным является поворот шатуна. Примем пока этот поворот ускоренным, тогда направление

совпадает с направлением , а вектор направим перпендикулярно отрезку ВА по ходу углового ускорения.

Вектор ускорения точки В направлен по вертикальной прямолинейной направляющей. Будем пока считать движение ползуна ускоренным и направим ускорение в ту же сторону, что и скорость (рис. 8, 9).

Теперь в равенстве (*) все ускорения имеют определенное направление, и мы можем записать это уравнение в проекциях на выбранные оси:

х: sin45^o = + ; y: cos45^o = .

Из последнего уравнения получаем = = 4 м/с², тогда из первого уравнения = - = -16 м/с².

Отсюда следует, что

ε_АВ = = -16 с^-2.

Отрицательные знаки у величин и ε_АВ показывают, что их истинные направления противоположны принятым.

О т в е т: ω_АВ = 2 с^-1; ε_АВ = -16 с^-2; v_В = 2 м/с; = 4 м/с².

ЗАДАНИЕ К3

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒