![]()
|
|||||||
Обратите внимание, что и (8), и (***) – верные! Хотя в первом вычитаются координаты второй точки, а во втором – первой.Стр 1 из 3Следующая ⇒
1.Прямая на плоскости.Среди различных уравнений прямой на плоскости наиболее распространенными можно считать следующие. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид где A, B, C – вещественные числа (неравенство Частными случаями являются уравнения Уравнение прямой с угловым коэффициентом представляет собой уравнение, разрешенное относительно y: Здесь вещественное число b – это ордината точки пересечения прямой и оси OY, вещественное число k – это угловой коэффициент прямой (тангенс угла, который прямая образует с положительным направлением оси OX). При k=0 получается уравнение прямой Замечание. Следует отдельно рассмотреть прямую, заданную уравнением x=a (a – вещественное число). Она проходит через точку с координатами (a;0) параллельно оси OY ( при a=0 получаемуравнение оси OY) и образует с осью OX угол в 900. Угловой коэффициент такой прямой не определен! Уравнение прямой в отрезках записывается в виде где a и b – соответствующие координаты точек пересечения прямой с осью OX (точка A(a;0)) и OY (точка B(0;b)). Например, прямая Пример 1. Дана прямая Решение. 1) Сравнивая уравнение данной прямой с (1), замечаем, что в нашем случае 2) Чтобы найти угловой коэффициент, исходное уравнение необходимо разрешить относительно y: 3) Уравнение
2. Угол j между прямыми. Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом ( Из (4) вытекают условия параллельности( Пример 2. Выбрать из прямых (I) – (V) параллельные и перпендикулярные, определить угол между прямыми (I) и (VI): (I) (IV) Решение. Сначала для каждой прямой найдем угловой коэффициент: (I): (II): (III) (IV) (V) (VI) Поскольку Чтобы найти тангенс угла между прямыми (I) и (VI), воспользуемся формулой (4): ЗАМЕЧАНИЕ 1 (о знаке найденного тангенса). ЗАМЕЧАНИЕ 2 (о точке пересечения прямых). Если точка лежит на прямой, то её координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Точка пересечения прямых – это точка, удовлетворяющая всем уравнениям прямых, которые в ней пересекаются. Значит, чтобы найти её координаты, необходимо решить систему соответствующих уравнений. При этом можно использовать метод исключения неизвестных, изученные ранее методы решения систем линейных алгебраических уравнений или, выразив одно из неизвестных через другое в любом уравнении, подставить полученное выражение в оставшееся уравнение. Пример 3. Найти точку пересечения прямых Решение. Рассмотрим систему уравнений 3. Составление уравнений прямых на плоскости. Рассмотрим основные типы возникающих задач. 1) Записать уравнение прямой с известным угловым коэффициентом 2) Записать уравнение прямой, проходящей через точку 3) Записать уравнение прямой, проходящей через точку 4) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Обратите внимание, что и (8), и (***) – верные! Хотя в первом вычитаются координаты второй точки, а во втором – первой. Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2,-3) и образующей с положительным направлением оси OX угол 1200. Решение. Координаты точки известны, а угловой коэффициент Пример 5. Составить уравнения прямых, проходящих через точку Решение. Так как Аналогично действуем при составлении уравнения перпендикулярной прямой, только используем (7):
Пример 6. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(3;7), B(-1;5). Решение.Подставляя в (8) координаты данных точек, получаем: Собирая теперь всё в одну сторону, приходим к уравнению Пример 7. В треугольнике с вершинами O(0;0), A(3;3), B(-1;5): 1) найти уравнения стороны AB, медианы AE и высоты OК. 2) Найти длину этой высоты. Решение. Уравнение стороны AB составляем, используя формулу (8): Далее, по определению медианы треугольника точка E – середина отрезка BO, поэтому ее координаты можно найти по формуле «полусумма соответствующих координат», поэтому
Таким образом, теперь надо составить уравнение прямой, проходящей через точки A(3;3) и E(-1/2;5/2). Подставляем их координаты в (8):
Итак, уравнение медианы AE имеет вид Высота OK – это прямая, проходящая через вершину O перпендикулярно прямой AB. Воспользуемся уравнением (7). Угловой коэффициент 2) Найдем координаты K – точки пересечения построенной высоты и прямой AB. Решаем систему уравнений: 4. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. В пространстве уравнение задает плоскость, при этом вектор Прямая в пространстве определяется как пересечение двух плоскостей:
|
|||||||
|