Понятие n-мерного вектора и векторного пространства

1. Понятие n-мерного вектора и векторного пространства

В этом параграфе мы обобщим понятие вектора и определим векторное пространство.

Определение1. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде , где – i-я компонента или координата вектора.

n-мерный вектор – понятие абстрактное, но оно широко применяется в различных областях, особенно в экономике. Например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором , а соответствующие цены – вектором .

Для n-мерных векторов понятия равенства векторов, суммы (разности) векторов и умножения вектора на число вводятся аналогично тому как это было сделано для двух и трехмерных векторов в п. 2.

Свойства линейных операций над любыми векторами:

1. x+y=y+x – переместительное,

2. (x+y)+z=x+(y+z) – сочетательное,

3. – сочетательное относительно числового множителя,

4. – распределительное,

5. – распределительное относительно числовых множителей,

6. x+0=x – существует нулевой вектор 0=(0,0,…,0),

7. ,

8. х+(-х)=0 – у любого вектора существует противоположный ему.

Определение 2. Векторным (линейным) пространством называется множество всех векторов (объектов) с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие свойствам (аксиомам) 1 – 8.

Важными в векторной алгебре являются понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов.

Определение 3. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

где – любые действительные числа.

Определение 4. Векторы векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Пояснение: векторы линейно зависимы, если хотя бы один из них линейно выражается через другие.

Некоторые свойства линейного пространства:

1) если среди векторов имеется нулевой вектор, то векторы линейно зависимы;

2) если часть векторов линейно зависимы, то и все они – линейно зависимы;

3) два неколлинеарных вектора на плоскости (или три некомпланарных вектора в пространстве) линейно независимы; любые три вектора на плоскости (четыре вектора в пространстве) линейно зависимы.

Пример. Выяснить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Решение. Если в векторном равенстве хотя бы одно отлично от нуля, то векторы линейно зависимы.

Найдем :

Получим систему:

Методом Гаусса получим;

Система имеет бесконечно много решений, т.к. r=2<n=3. Общее решение имеет вид:

где с – произвольное действительное число.

Подставляя различные значения с, будем получать бесконечно много наборов , в которых не все равны 0.

Вывод: данные векторы линейно зависимы.

Определение 5. Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые (n+1) векторов уже будут зависимыми. Число n зазывается размерностью пространства и обозначается dim(R).

Определение 6. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется его базисом.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства R можно представить (и при том единственным образом) в виде линейной комбинации векторов базиса , т.е.

Это равенство называется разложением вектора x по базису ( ), а числа – координатами вектора х относительно этого базиса.

Переход к новому базису изучить самостоятельно по учебнику.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒