Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.

11.Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.

Определение1. Векторомназывается направленный отрезок

с начальной точкой А и конечной точкой В, который можно перемещать параллельно самому себе (рис. 3.1.). Обозначения:

Рис. 3.1.

Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с началом координат. Координатами вектора называются координаты его конечной точки. Так, координатами вектора на плоскости являются два числа (рис.3.2.), а в пространстве – три числа (рис. 3.3.)

Рис. 3.2.

Рис. 3.3.

Длиной (нормой, модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор. Из рисунков 3.2. и 3.3. видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

или

Векторы, лежащие на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называются компланарными.

Если начало и конец вектора совпадают, то его называют нулевым и обозначают . Длина нулевого вектора равна 0, он коллинеарен любому вектору, т.к. имеет произвольное направление.

Линейные операции над векторами

1. Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если >0, и противоположно ему, если <0 (рис. 3.4).

Рис. 3.4.

Противоположным вектором называется произведение вектора на число (-1), т.е. .

2. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольника) (рис.3.5.)

Рис. 3.5.

Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (правило параллелограмма) (рис. 3.5.).

Можно определять также сумму нескольких векторов.

3. Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора - , противоположного (рис. 3.6.). Аналогично сложению, при вычитании векторов вычитаются их соответствующие координаты.

Рис. 3.6.

Векторы совпадающие с положительным направлением осей соответственно Ox, Oy, Oz (рис. 3.7.), называются единичными векторами или ортами. Очевидно, что .