Геометрическое приложение определенного интеграла

Геометрическое приложение определенного интеграла

Площадь, ограниченная кривой y = f(x) , осью Ох и прямыми х = а, х = b, где f(x) > 0 на [a,b], есть предел к которому приближается сумма площадей прямоугольников у_i ∆x_i

_{n b}

S =lim ∑f(c_i) ∆x_i=∫f(x)dx

^{∆xi 0 i=1 a}

Если f(x) < 0 на [a, b], то

S = - ∫f(x)dx

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми y₁ = f₁(x) и y₂ = f₂(x) и двумя прямыми х = а и х =b, где f₁(x) ≥ f₂(x) на отрезке [a,b] находится по формуле:

S = ∫[f₁(x) - f₂(x)] dx

Рис.

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 4х – х² и осью Ох.

Решение: Найдем точки пересечения параболы у = 4х – х² с осью Ох.

у = 4х – х² = 0 → х(4-х) = 0, х₁= 0, х₂= 4 - это и есть пределы интегрирования.

₄

Тогда S = ∫(4х – х²) dx = (2х² – х³/3)│= 2∙4² -∙4²/3 = 32/3 (кв. ед.)

⁰

Рис.

⇐ Предыдущая 1 23