Таблица первообразных ( в раздаточном материале)

Таблица первообразных ( в раздаточном материале)

Существуют различные способы вычисления интегралов. Если интеграл не вычисляется обычным способом с помощью таблицы интегралов, то его вычисляют

1. Интегрированием методом подстановки;

2. Интегрированием по частям.

Примеры:

∫(5х⁴ +4) dx =∫5х⁴dx +∫4dx = =5∫х⁴dx +4∫dx = х⁵/5 +x+С=х⁵+x+С

Определенный интеграл

Определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a;b] называется число, _b

обозначаемое ∫f(x)dx ,вычисляемое по формуле Ньютона- Лейбница

_{b b}

∫f(x)dx = F(x)│= F(b) – F(a), где F(х) – первообразная для f(x), F′(x) = f(x),

^a^a

Определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a;b] или в пределах от а до b определяется как предел интегральной суммы при условии . что длина наименьшего и наибольшего отрезка стремится к 0.

_{b n}

∫f(x)dx = lim ∑f(x_k)∆ x_k

^a^∆^xk^®^{0 k=1}

Если f(x) > 0 на [a;b] , то определенный интеграл ∫f(x)dx геометрически

^a_b

представляет собой площадь криволинейной трапеции ABCD. S = ∫f(x)dx

Концы отрезка а; b, называются пределами интегрирования.

Рис.

Свойства определенного интеграла

Свойство 1.

При замене нижнего предела на верхний и наоборот определенный интеграл меняет знак на противоположный, сохраняя при этом абсолютное значение.

_b _а

∫f(x)dx = - ∫f(x)dx

^a ^b

Свойство 2.

_а

∫f(x)dx = 0

Свойство 3.

Если взять точку, лежащую внутри отрезка, то получим:

_b _{c b}

∫f(x)dx = ∫f₁(x)dx + ∫f₂(x)dx

^{a a c}

Свойство 4

Интеграл от алгебраической суммы слагаемых равен алгебраической сумме интегралов этих слагаемых

_b. _b_b

∫[(f₁(x) ± f₂(x)]dx =∫f₁(x)dx ± ∫ f₂(x)dx

^a^a^a

Свойство5

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

_{b b}

∫Сf(x)dx = С∫f(x)dx

^a^a

Методы интегрирования:

Если интеграл не вычисляется обычным способом с помощью таблицы интегралов, то его вычисляют интегрированием методом подстановки или интегрированием по частям.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒