Дифференциал функции. Дифференциалом dx независимой переменной х называется ее приращение ∆х., т.е. dx=∆х. Дифференциалом dy функции y=f(x) называется главная часть ее приращения, п пропорционален приращению ∆х независимой переменной..

Дифференциал функции

Дифференциалом dx независимой переменной х называется ее приращение ∆х., т.е. dx=∆х

Дифференциалом dy функции y=f(x) называется главная часть ее приращения, п пропорционален приращению ∆х независимой переменной.

dy ≈∆у

Дифференциал любой дифференцируемой функции y=f(x) равен произведению производной на дифференциал независимой переменной.

dy = y¢(x)dx

y¢(x) = dy/dx

если ∆х мала, то dy ≈∆у

у(х+∆х) =у(х) + ∆у = у(х) + dy = у(х) + y¢(x) dx

пример

Найти ∆у и dy функции у = х² –х+1 при х = 3, ∆х = 0,01

∆у = у(х+∆х) - у(х) = (х + ∆х)²- (х +∆х) + 1 – (х² –х+1) =

3,01²- 3,01+ 1 - 9 + 3 -1=

= 9.061-3,01-6 = 0,0501

dy = y¢(x)dx = (2х – 1)dx =0,05

Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл

Основная задача интегрального исчисления – по производной функции найти саму функцию.

Опр. Функция y=F(x) называется первообразной для функции y=f(x) на заданном промежутке ∆,если для всех х на промежутке ∆ выполняется равенство

F′(x) = f(x),

При этом

F(x) непрерывна на промежутке ∆,

F(x) во всех точках промежутка ∆ имеет производную.

Пр.f(x) =3х², т.е. F′(x)= 3х²

F(x) = х³, однако (х³+2)′ = 3х²

(х³ + С)′ = 3х²

Т.е., если f(x) на промежутке ∆ имеет хотя бы одну первообразную F(x),

то она имеет на этом промежутке бесконечное множество первообразных.

Опр. Совокупность всех первообразных функции f(x), определенных

на некотором промежутке ∆, называется неопределенным

интегралом.

∫f(x)dx =F(x) + C

Пример:

∫3х² dx = х³ + С

Свойства неопределенного интеграла

1.[∫f(x)dx]′ = f(x) производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. d[∫f(x)dx] = f(x)dx дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению.

3. ∫kf(x)dx =k∫f(x)dx постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

4. ∫df(x) = f(x) + С неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой функции плюс постоянный множитель.

5. ∫[(f₁(x) ± f₂(x)]dx =∫(f₁(x)dx ± ∫ f₂(x)dx неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов самих функций.

6. ∫dx = x + С

Для облегчения вычисления неопределенных интегралов существует таблица наиболее часто встречающихся простейших интегралов, или таблица первообразных, что фактически одно и тоже

12 3 Следующая ⇒