Задание 12 № 71243. Решение.. Задание 13 № 513092. Решение.. Задание 14 № 521354. Решение.. Задание 15 № 511560. Решение.. Задание 16 № 505176. Решение.. Задание 17 № 517456. Решение.. Задание 18 № 505988. Решение.. Примечение РЕШУ ЕГЭ.

12. Задание 12 № 71243

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

Ответ: 15.

13. Задание 13 № 513092

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а) Имеем:

б) На указанном промежутке лежат точки

Ответ: а) б)

14. Задание 14 № 521354

Дана прямая призма АВСA₁B₁C₁.

а) Докажите, что линия пересечения плоскостей АВС₁ и А₁В₁С параллельна основаниям призмы.

б) Найдите угол между плоскостями АВС₁ и А₁В₁С, если известно, что АС = 1, ВС = 2, АВ = , СС₁ = 3.

Решение.

а) Пусть O — точка пересечения A₁C и AC₁. Проведем через нее прямую, параллельную AB и A₁B₁. Очевидно, она лежит в обеих плоскостях. Поэтому она-то и есть линия их пересечения. Она параллельна AB, поэтому параллельна плоскости основания призмы.

б) Поскольку , треугольник ABC — прямоугольный. Введем координаты с началом в точке C и с осями x, y, z, направленными вдоль ребер CA, CB, CC₁ соответственно. Тогда координаты точек будут

Уравнение плоскости ABC₁ будет , уравнение плоскости A₁B₁C будет , и .

Ответ .

15. Задание 15 № 511560

Решите неравенство:

Решение.

Имеем:

Применяя метод интервалов, получаем: или

Ответ:

16. Задание 16 № 505176

На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.

а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.

б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 24, а один из его углов равен 45°.

Решение.

а) Возьмём на диагонали AC параллелограмма ABCD точку O (не посередине) и проведём через неё перпендикуляры NL и KM к сторонам параллелограмма (см. рис.). Прямоугольные треугольники CKO и AMO подобны.

Точно так же подобны треугольники CNO и ALO:

OK : OM = OC : OA = ON : OL.

Отсюда следует подобие треугольников ONK и OLM. Тогда накрестлежащие углы OML и OKN равны, а поэтому прямые NK и ML параллельны. Следовательно, четырёхугольник KLMN — параллелограмм или трапеция.

Докажем, что это трапеция. Если KLMN — параллелограмм, то ON = OL.

В этом случае OC = OA, то есть O — середина AC. Противоречие. Значит, KLMN — трапеция.

б) Обозначим площадь параллелограмма S, а его острый угол — α. Угол между диагоналями NL и KM трапеции KLMN равен углу между перпендикулярными диагоналям прямыми BC и CD, то есть этот угол равен α.

Поэтому площадь трапеции равна:

Подставляя α = 45° и S = 24, получаем, что площадь трапеции равна

Ответ: 6.

17. Задание 17 № 517456

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— Каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 77 760 руб, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 131 760 руб, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Решение.

Пусть сумма кредита S ежегодные выплаты x, По условию долг на июль меняется так:

Если долг выплачен двумя равными платежами x₂, то

Если долг выплачен четырьмя равными платежами x₄, то

Тогда

откуда Следовательно,

Ответ: 20.

18. Задание 18 № 505988

Найти все значения параметра при каждом из которых наименьшее значение функции на отрезке принимает наименьшее значение.

Решение.

Наименьшее значение эта функция принимает либо в нулях производной, либо в одном из концов отрезка. Найдем производную:

поэтому нули производной равны

Если то производная имеет вид корни производной суть числа 0 и −1. Отрезок становится отрезком [0; 1], на нем функция f возрастает. Наименьшее значение достигается на левой границе отрезка. (*)

Если то а не лежит на отрезке В этом случае имеем следующее расположение знаков производной:

Интервал	(		( )
знак	+	−	+

Наименьшего значения функция достигает либо на левой границе отрезка, либо в точке (**)

Если то производная имеет вид Отрезок становится отрезком на нем функция лежит единственный корень производной — число 0. Это точка максимума, поэтому наименьшее значение достигается или на левой границе отрезка, или на правой границе. Эти значения равны, будем считать, что наименьшее значение достигается на левой границе (***).

Объединяя случаи (*), (**) и (***) получаем, что если то ее наименьшее значение равно наименьшему из значений и Имеем:

Рассмотрим разность найденных значений на отрезке

Поэтому

Если то а не лежит на указанном отрезке. Рассуждая аналогично, находим, что если то функция убывает на и на Проведя аналогичные вычисления, можно получить, что ее наименьшее значение равно

Осталось исследовать наименьшие значения (1) и (2) на соответствующих отрезках и найти наименьшее из них. Однако поскольку при замене функции переходят друг в друга, достаточно будет исследовать одну из них. Иными словами, поскольку для всех α из отрезка верно равенство достаточно найти наименьшее значение функции на промежутке

Исследуем производную функции на интервале

Решениями уравнения являются числа и На интервале значения тангенса положительны и меньше 1, поэтому в него входит только корень

На интервале производная отрицательна, на интервале положительна. Следовательно, функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке Поэтому наименьшее значение на отрезке достигается в точке Такое же наименьшее значение принимает и в точке принадлежащей отрезку

Итак, наименьшее значение достигается в точках и

Примечение РЕШУ ЕГЭ.

Это задание из вступительного экзамена в Московский государственный университет несколько сложнее других.

19. Задание 19 № 485960

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.

а) может ли в последовательности быть три члена?

б) может ли в последовательности быть четыре члена?

в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?

Решение.

а) Нет, поскольку не делится на , а не является квадратом натурального числа.

б) Последовательность не может быть арифметической прогрессией, поскольку не делится на 3.

Последовательность не может быть геометрической прогрессией, поскольку не является кубом натурального числа.

Если первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую, то эти числа: но уравнение не имеет целых корней.

Если первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую, то эти числа: и где — натуральное число. Тогда последнее число должно равняться