Вычисление пределов. Задание 2.

2. Вычисление пределов

Как решить вышерассмотренный пример?

Исходя из вышесказанного, напрашивается просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела: lim _𝑥_→1(𝑥²+4𝑥−12𝑥+4)=1+4−121+4=−75

Метод прямой подстановки

Итак, правило первое. Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Задание 1. Вычислить пределы:

а) lim _𝑥_→2(2𝑥²+11𝑥+15𝑥+3) б) lim _𝑥_→−3(3𝑥²+2𝑥−8𝑥+2) в) lim _𝑥_→−3(6𝑥2+5𝑥−1𝑥+12)

Пример 2. Рассмотрим пример с бесконечностью.

Вычислить предел lim _𝑥_→+∞(1−𝑥)

Решение. Разбираемся, что такое x → +∞. Это тот случай, когда x неограниченно возрастает, то есть: сначала x = 10, потом x = 100, потом x = 1000, затем x = 10000000 и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией y = f(x)? Если в функцию вместо x подставить +∞, то очевидно, что сама функция будет стремиться к –∞.

Значит, lim _𝑥_→+∞(1−𝑥)=−∞.

Пример 3. Еще один предел с бесконечностью.

Вычислить lim _𝑥_→+∞(𝑥²−2𝑥−3).

Решение. Опять начинаем увеличивать x до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

если x = 10, то;

если x = 100, то;

если x = 1000, то; lim _𝑥_→+∞(𝑥²−2𝑥−3)=+∞.

Задание 2.

Попытайтесь мысленно проанализировать и запомнить следующие виды пределов:

lim _𝑥_{→∞ (}1/𝑥)=0

lim _𝑥_→∞(1/(𝑥−99))=0

lim _𝑥_→∞(5/(𝑥⁴+𝑥−9))=0

lim _𝑥_{→∞ (}2/3)^𝑥=0

lim _𝑥_{→∞ (}1/(√𝑥+7))=0

Выводы:

1) Когда дан ЛЮБОЙ предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как

lim _𝑥_→∞(𝑥⁴+8𝑥+10)=∞, lim _𝑥_→∞(1/𝑥²)=0, lim _𝑥_→0(1/𝑥²)=∞ и т.д.

Также обратите внимание на следующее. Даже если дан предел с большим числом в числителе, да хоть с миллионом: lim_𝑥_→∞(1000000/𝑥²), то все равно lim _𝑥_→∞ (1000000/𝑥²)=0, так как рано или поздно «икс» начнет принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними станет самым настоящим микробом.

3) И еще один крайне важный момент. В процессе оформления примеров ни в коем случае не допускайте неполной записи (указывайте, к чему стремится предел функции).

Иными словами, НЕТ такого понятия, как «просто предел»! Предел функции может существовать (или не существовать) лишь в определённой точке (в частности, в точке x = –∞ или x = +∞).

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒