Аксиоматическое определение скалярного произведения на комплексном линейном пространстве. Следствия из аксиом. Унитарные пространства.

48. Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора и его матрицы. Правило нахождения собственных векторов (с доказательством).. Лемма о решении вырожденной однородной системы линейных уравнений.

49. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду. Критерий приводимости квадратной матрицы к диагональному виду.

50. Присоединенные векторы и правило их нахождения.

51.Определение билинейной формы и различные способы её записи.

52. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.

53. Невырожденные и симметричные билинейные формы и их матрицы.

54. Квадратичные формы и их связь с билинейными формами. Различные способы записи квадратичной формы. Изменение матрицы квадратичной формы при изменении базиса.

55. Канонический и нормальный виды квадратичной формы.

56.Определение знакоопределенной квадратичной формы. Полуопределенные формы. Необходимое условие знакоопределенности (с доказательством). Исследование знакоопределенности по каноническому виду.

57. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм.

58. Аксиоматическое определение скалярного произведения на действительном линейном пространстве. Следствия из аксиом. Евклидовы пространства.

59. Аксиоматическое определение скалярного произведения на комплексном линейном пространстве. Следствия из аксиом. Унитарные пространства.

60. Неравенства Коши – Буняковского и треугольника (с доказательством).

61. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Теорема о линейной независимости.

62. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Пример.

63. Матрица Грама. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов. Изменение матрицы Грама при изменении базиса.

64. Ортогональные и унитарные матрицы и их свойства. Теорема о матрице перехода. Свойства эрмитовых и симметричных матриц.

65. Определение самосопряженного оператора. Теоремы о матрице, о собственных значениях и собственных векторах. Следствия из этих теорем.

66. Определение самосопряженного оператора и теорема об ортонормированном базисе.

67. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных.

68. Определение изометрии и теорема об её собственных значениях.

69. Определение изометрии и теорема о длинах.

70. Определение изометрии и теорема об ортонормированном базисе.

71. Матрицы ортогональных и унитарных операторов.

72.Ортогональные операторы на евклидовой плоскости.

73.Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве.

74.Симметричные операторы на евклидовой плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве.

75. Общее определение тензора. Примеры тензоров.

76.Общее определение тензора. Основные операции над тензорами.

77.Тензоры в евклидовом пространстве. Метрический тензор. Операции поднятия и опускания индексов. Тензоры в ортонормированных базисах. Евклидов (ортогональный) тензор.

78. Определение группы и простейшие следствия из аксиом.

79.Группа Лоренца.

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒