Прямая и плоскость в пространстве

2.3. Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой и плоскостью. За угол между прямой и плоскостью принимается угол, образованный этой прямой и ее проекцией на рассматриваемую плоскость.

Здесь определяются два угла – острый и тупой. Выбирается один из них.

Пусть плоскость (Q) задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, а прямая (l) задана каноническими уравнениями = = . Синус угла между прямой (l) и плоскостью (Q) вычисляется по формуле

= .

Условие параллельности прямой и плоскости:

= 0.

Условие ортогональности прямой и плоскости:

= = .

Равенства вида

являются условием принадлежности прямой плоскости. Первое равенство отражает тот факт, что прямая параллельна плоскости, а второе – что плоскость проходит через точку на прямой.

Замечание. Уравнения прямой на плоскости получаются путем исключения входящих в пространственные уравнения компонент, относящихся к переменной z. Например из канонического уравнения прямой в пространстве получаются уравнения прямой на плоскости вида = .

Пример. Стороны AB и BC параллелограмма заданы уравнениями 2x – y + 5 = 0 и x – 2y + 4 = 0. Диагонали его пересекаются в точке M(1; 4). Найти уравнения двух других сторон параллелограмма.

Решение. Изобразим параллелограмм на чертеже.

Находим координаты точки пересечения прямых AB и BC, решая систему уравнений:

Это будет точка B(-2; 1). Теперь найдем координаты точки D, которые обозначим как и . Так как точка M находится на середине отрезка BD, то должны выполняться равенства:

, .

Отсюда находим = 4, =7 и D(4; 7).

Угловые коэффициенты прямых AB и CD совпадают и равны 2. Уравнение прямой CD находим из условия, что ее угловой коэффициент равен 2 и она проходит через точку D(4;7):

y – 7 = 2(x – 4), или 2x – y -1 = 0.

Аналогично находим уравнение прямой AD:

x – 2y +10 = 0.

2.4. Контрольные вопросы

1. Какие Вы знаете уравнения плоскости?

2. Какой смысл имеют коэффициенты A, B, C в уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0?

3. Плоскость проходит через ось Oz. Какие из коэффициентов A, B, C, D в этом случае равны 0?

4. Какой смысл имеют коэффициенты a, b, c в уравнении плоскости + + = 1?

5. Укажите нормирующий множитель для перехода от общего уравнения плоскости к нормальному.

6. Какие Вы знаете уравнения прямой в пространстве?

7. Какой смысл имеют коэффициенты m, n. p в уравнении прямой = = ?

8. Определяет ли прямую система

2.5. Расчетное задание

Даны координаты четырех точек в пространстве A₁, A₂, A₃, A₄ (см. табл.1). Требуется решить следующие задачи:

1) составить уравнение плоскости Q, проходящей через точки A₁, A₂, A₃;

2) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку A₄ перпендикулярно плоскости Q;

3) найти координаты точки пересечения такой прямой с плоскостью Q;

4) найти расстояние от точки A₄ до плоскости Q;

5) составить уравнение плоскости, проходящей через точку A₄ параллельно плоскости Q;

6) составить уравнение плоскости, проходящей через точки A₁ и A₄ перпендикулярно плоскости Q;

7) найти косинус угла между плоскостью Q и плоскостью, проходящей через точки A₁, A₃, A₄;

8) найти синус угла между прямой A₁A₄ и плоскостью Q.

2.5. Решение типовых задач

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A₁(3; -1; 2), A₂(4; -1; -1), A₃(2; 0; 2).

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки:

= = 0.

Раскрываем определитель третьего порядка:

3(x – 3) + 3(y + 1) + z – 2 = 0, или 3x + 3y + z – 8 = 0.

Задача 2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку A(-1; 2; 1) перпендикулярно плоскости 3x – 2y + z – 12 = 0.

Решение. В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять нормальный вектор заданной плоскости, то есть считаем = {3; -2; 1}. Тогда канонические уравнения прямой записываются в виде

= = .

Задача 3. Найти точку пересечения прямой = = и плоскости 2x – 6y – z + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнения заданной прямой в параметрическом виде:

x = 1 + 2t ; y = 2+ 3t ; z = 6 + t .

Пусть значение параметра t = t_a соответствует точке A(x_a; y_a; z_a) пересечения прямой и плоскости. Тогда значение t_a находится из уравнения:

2(1 + 2t_a) – 6(2+ 3t_a) – (6 + t_a) +1 = 0.

Решая его, получим t_a = -1.

Координаты точки пересечения A(x_a; y_a; z_a) находим из параметрических уравнений прямой при t = -1:

x_a = 1 + 2(-1) = -1; y_a = 2+ 3(-1) = -1; z_a = 6 - 1 = 5.

Значит, точка A(-1; -1; 5) есть точка пересечения прямой и плоскости.

Задача 4. Найти расстояние от точки A(-2; -4; 3) до плоскости 2x – y +2z + 3 = 0.

Решение. Воспользуемся формулой d = = = 3.

Задача 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(2; -1; 6) параллельно плоскости x + y - 2z + 5 = 0.

Решение. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять нормальный вектор заданной плоскости = {1; 1; -2}. Искомая плоскость представляется уравнением

1(x – 2) + 1(y + 1) – 2(z – 6) = 0, или x + y - 2z + 11 = 0.

Задача 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A₁(1; 2; 3) и A₂(2; 1; 1) перпендикулярно плоскости 3x + 4y + z - 6 = 0.

Решение. Пусть точка M(x; y; z) принадлежит искомой плоскости. Тогда векторы , и нормальный вектор заданной плоскости = {3; 4; 1} должны быть комплонарны. Значит выполняется условие