Плоскость и прямая в пространстве

1. Плоскость и прямая в пространстве

1.1. Уравнения плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор. Пусть в пространстве задана точка M₀(x₀; y₀; z₀) и вектор = {A; B; C}. Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀; y₀; z₀) и перпендикулярная к ненулевому вектору (нормальному вектору) представляется следующим уравнением:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.

Это уравнение отражает тот факт, что вектор ортогонален любому вектору на плоскости. Точка M(x; y; z) – произвольная точка плоскости.

M₀

Общее уравнение плоскости имеет следующий вид:

Ax + By + Cz + D = 0.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть в пространстве заданы три точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂), M₃(x₃; y₃; z₃) не лежащие на одной прямой. Проходящая через них плоскость представляется уравнением

= 0.

Это уравнение отражает компланарность векторов , , . Точка M(x; y; z) – произвольная точка плоскости.

M₁

M₂

M₃

Уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскость проходит через три точки A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), отсекая на координатных осях не равные нулю отрезки a, b, c. Тогда ее уравнение имеет вид

+ + = 1.

Нормальное уравнение плоскости:

x + y + z - p = 0,

где , , - направляющие косинусы нормального вектора плоскости ;

p – расстояние от начала координат до плоскости. Считается, что вектор направлен от начала координат к плоскости (начало вектора связывают с началом координатной системы и смотрят его направление – к плоскости или от плоскости). Это уравнение отражает тот факт, что проекция вектора, проведенного из начала О в произвольную точку плоскости, всегда равна значению p.

Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель = . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена D в общем уравнении плоскости.

Пример. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку P(-1; 2; 2), параллельно векторам = {2; -2; 3} и = {4; 1; 5}.

Решение.Вначале находим нормальный вектор искомой плоскости по формуле

= = = - + = - 13 + 2 + 10 .

Получили, что = {-13; 2; 10}.

Теперь составим уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку P и перпендикулярна вектору :

-13(x + 1) + 2(y – 2) + 10(z – 2) = 0.

Отсюда находим общее уравнение искомой плоскости: -13x + 2y + 10z – 37 = 0.

Угол между плоскостями. Под углом между плоскостямипонимается один из двугранных углов, образованный этими плоскостями (либо острый, либо тупой).

Q₁

Q₂

Пусть плоскости заданы своими общими уравнениями

(Q₁): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 ;

(Q₂): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

За угол между плоскостями(Q₁) и (Q₂) принимается угол между нормальными векторами плоскостей = {A₁; B₁; C₁} и = {A₂; B₂; C₂} и его косинус находится по формуле

= = .

Условие ортогональности двух плоскостей. Если плоскость (Q₁) ортогональна плоскости (Q₂), то их нормальные векторы будут также ортогональны, а тогда = 0 и

= 0.

Условие параллельности двух плоскостей. Если плоскость (Q₁) параллельна плоскости (Q₂), то их нормальные векторы коллинеарны, а тогда

= = .

Расстояние от точки до плоскости. Пусть в пространстве задана точка M₀(x₀; y₀; z₀) и плоскость (Q): Ax + By + Cz + D = 0. Расстояние d от точки M₀ до плоскости (Q) находится по формуле

d = .

Формула выводится из условия, что d есть модуль проекции вектора на направление нормального вектора , M₁ – произвольная точка плоскости.

12 3 Следующая ⇒