Уравнения прямой в пространстве

2.2. Уравнения прямой в пространстве

Канонические уравнения прямой. Пусть в пространстве задана точка M₀(x₀; y₀; z₀) и вектор = {m; n; p}. Уравнения прямой (l), которая проходит через точку M₀ и которая параллельна вектору , имеют следующий вид:

= = .

Эти уравнения называются каноническими и отражают тот факт, что вектор , который называется направляющим вектором прямой, коллинеарен вектору . Точка M(x; y; z) – произвольная точка прямой (l).

M₀

Параметрические уравнения прямой. Запишем канонические уравнения прямой в виде

= = = t, где t – параметр. Решая каждое из трех записанных таким образом уравнений относительно x, y, z, получим параметрические уравнения прямой

x = x₀ + mt; y = y₀ + nt; z = z₀ + pt.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть в пространстве заданы две точки M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂). Уравнения прямой, проходящей через эти точки, имеют вид

= = .

Эти уравнения получаются из канонических уравнений прямой, если взять за точку на прямой точку M₁ а за направляющий вектор - вектор .

Общие уравнения прямой:

где нормальные векторы плоскостей = {A₁; B₁; C₁} и = {A₂; B₂; C₂} не коллинеарны. Здесь прямая определяется как линия пересечения двух непараллельных плоскостей.

От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим уравнениям следующим образом. Координаты точки на прямой получаются из системы уравнений, задав одной из координат произвольное значение (например z = 0).

Пример. Даны вершины треугольника A(2; -3; 4), B(5; -1; -2), C(4; -2; 5). Составить

параметрические уравнения его медианы CD.

Решение. Изобразим треугольник ABC и его медиану CD на чертеже.

Находим координаты x_D, y_D, z_D точки D по формулам:

x_D = = = 3,5; y_D = = = - 2; z_D = = = 1.

Вектор является направляющим вектором медианы CD. Его координаты находим по формуле:

= {x_D – x_C ; y_D – y_C ; z_D – z_C} = {3,5 – 4; -2 +2; 1 – 5} = {-0,5; 0; -4}.

Теперь запишем параметрические уравнения медианы CD как прямой, проходящей через точку C(4; -2; 5) и имеющей направляющий вектор = {-0,5; 0; -4}:

x = 4 + 0,5t ; y = -2 ; z = 5 + 4t .

Расстояние от точки до прямой. Пусть в пространстве задана точка M₁(x₁; y₁; z₁) и прямая (l) своими каноническими уравнениями = = . Расстояние d от точки M₁ до прямой (l) находится по формуле

d = ,

где = {m; n; p} – направляющий вектор прямой (l), M₀(x₀; y₀; z₀) – точка прямой. Здесь расстояние d находится как высота треугольника, построенного на векторах и ,

Угол между прямыми. Пусть прямые (l₁) и (l₂) заданы своими каноническими уравнениями

(l₁): = = ,

(l₂): = = .

За угол между прямыми (l₁) и (l₂) принимается угол , образованный направляющими векторами прямых = {m₁; n₁; p₁} и = {m₂; n₂; p₂} и его косинус находится по формуле

= = .

Условие ортогональности двух прямых:

= 0.

Условие параллельности двух прямых:

= = .

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒