Метод симметрии. Симметрия. Метод симметрии

Метод симметрии

Подготовил студент 502 группы

Математический факультет

Ненартович Марк Витольдович

Минск 2012

Симметрия

Опр.: Точки называются симметричными относительно заданной прямой , если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку (Рис. 1). Каждая точка прямой симметрична сама себе. Преобразование плоскости, при котором каждая точка отображается на симметричную ей точку относительно данной прямой , называется осевой симметрией с осью и обозначается .

Фигура и ее образ при осевой симметрии называются симметричными фигурами относительно прямой (Рис. 2).

Теорема. Осевая симметрия плоскости есть движение.

Теорема. Прямая, отличная от перпендикуляра к оси симметрии, и ее образ при этой симметрии пересекаются на оси симметрии или ей параллельны.

Прямая называется осью симметрии фигуры , если при симметрии с осью фигура отображается на себя: . Говорят, что фигура симметрична относительно прямой . [1, стр. 164-166]

Метод симметрии

Применение осевой симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии.

Суть: состоит в том, что на ряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторыми из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в иных случаях симметрия непосредственно дает искомые точки.

Задача 1. Отрезок пересекает прямую . Постройте на прямой точку так, чтобы прямая делила угол пополам.

Задача 2.Построить квадрат, две противоположные вершины которого лежат на данной прямой , а две другие – соответственно на данных окружностях и .

Задача 3. Построить ромб так, чтобы одна из его диагоналей была равна данному отрезку и лежала на данной прямой , а остальные две вершины ромба лежали соответственно на данных прямых и .

Задача 4.Постройте отрезок так, чтобы его концы принадлежали данным прямым и так, чтобы данная прямая проходила через середину отрезка и была ему перпендикулярна.

Задача 5. Построить треугольник, зная сторону , прилежащий к ней угол и разность двух других сторон .

12 3 Следующая ⇒