Замечание.. Замечание.

Замечание.

В предыдущих задачах m, nбыли целыми числами. Это требование не является обязательным. Необходимо, чтобы m+n было отрицательным четным числом.

Пример 11

e) m + n=0 (m,nпринадлежат Z)

В этом случае подынтегральная функция имеет один из видов

А)

Б)

Найдем интегралы от

Решение.

Замечание.

Интегралы вида

Где m,nпринадлежит Q (рациональные числа) приводятся к интегралу от биномиального дифференциала.

1) n – нечетное ( - целое) подстановка

2) m – нечетное ( - целое) t=sinx

3) (m+n) – четное ( - целое) подстановка

(или )

В частности, такая подстановка удобна для интегралов (или ), где n-целое положительное число. Но последняя подстановка неудобна, если оба числа mи n – положительны.

Если mи n – неотрицательные, четные числа, то удобнее использовать метод понижение степени с помощью тригонометрических преобразований:

или

При вычислении интегралов вида и если и то можно интегрировать по частям, полагая

Итак,

Из этой формулы следует, что

( , , )

Заменяя mна m+2 , имеем:

Ин-лы вида:

Для нахождения первообразных для данных ин-лов пользуются следующими формулами тригонометрии: соответственно:

Пример 12 :

Интегралы вида

Универсальная тригонометрическая подстановка:

Эта подстановка во всех случаях рациональную ф-цию Sinx Cosx R(sinx,cosx)

Приводит к рациональному виду, т.е

Замечание. Следует помнить, что применив универсальную подстановку иногда получают первообразную не для подинтегральной фун-ции, а для ее сужения на ин-ле т.к разрывна в (…)

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒