Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Пример 1. Пример 5. Пример 6. Пример 8. Пример 9. Пример 10.

Стр 1 из 4Следующая ⇒


 

В заключение для Н.И. хотелось бы отметить.

Ранее мы ввели понятие элементарной функции и установили, что производная -й элементарной функции представляет так же элементарную функцию. Установили, что операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций.

Отметим, что с операции интегрирования дело обстоит иначе. Можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными.

Примерами таких интегралов могут служить следующие:

1. - интеграл Пуассона

2. -интегралы Френеля

4. -интегральный логарифм

5.

6. -интегральный синус .

7. и многие другие .

 

Каждый из указанных интегралов представляет собой функцию не являющуюся элементарной.

Эти функции реально -ют и играют важную роль в различных вопросах физики.

1-я называется интегралом Пуассона или интегралом ошибок. Используют в статической физике, в теории теплопроводности иди диффузии.

2^3.-интегралы Френеля- используются в оптике. Не вычисляются в элементарных функциях

Пример 1

Решение:

Дифференцируем обе части равенства и получаем:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых слагаемых, получаем систему уравнений

Тогда-

Проверка:


Пример 2

Полагаем

Дифференцируя получим:

Тогда-

Проверка:

Пример 3

Дифференцируя получим:

Тогда-

Проверка:

Пример 4

Решение:

 

Пример 5

                                                                                              (1)

(

 - Правильные дроби, степени числителей меньше на 1 знаменателя.)

 

( (1) дифференцируем и получим в равносильной форме ).

Т.е.

Приводим к общему знаменателю дроби и приравниваем числители.

 

 

Тогда

Пример 6

Этот интеграл можно вычислить двумя способами.

А)

А далее известно, можно получить шесть уравнений с шестью неизвестными A,B,C,D,E,F.

В)

Найдем этот интеграл методом Остроградского.

 

 

Рациональную дробь    удобно представить в виде суммы элементарных дробей.

Дифференцируем обе части этого равенства, получаем:

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях буквы x, получаем систему

Решая эту систему находим

Итак

Описанные выше методы интегрирования рациональных функций хотя и обладают общностью, так как в отдельных случаях рассматриваемые интеграл от рассматриваемой функции может быть значительно проще вычислен с помощью метода замены переменных или непосредственно с помощью тех или иных искусственных приемов.

 

Заметим, что

Пример 8

Пример 9

Как видно, вычисления были не сложными, разложение подынтегральной дроби на элементарные было бы здесь весьма громоздким и привело бы непосредственно к усложнению формы ответа.

Обратимся к интегралу вида В)

В)

Если  число такое, что для всех х выполняется равенство

, то интеграл в) можно представить в виде линейной комбинации интегралов

 

и

Интеграл I1 – сводится к табличному, а для I2 применяем подстановку Абеля.

которая сведет его к интегралу от многочлена.

Если , то используется подстановка

Где подбираются такими, чтобы коэффициенты при t в квадратных трехчленах подынтегральной функции обратились в нуль. При этом интегралы принимают вид:

, гдеP(t) – огочлен степени 2k-1,

 

Если b=ap, но (случай b=ap и c=aq – рассмотрен выше)

То вместо подстановки (*) можно применить подстановку .

 

Чтобы вычислить интеграл разложим правильную рациональную дробь на простые дроби и представим в виде линейной комбинации интегралов вида

вычисляется с помощью подстановки , а - с помощью подстановки Абеля

Обратились в нуль. При этом интеграл в) принимает вид

- многочлен степени «2k-1», .

 

 

Пример 10.

Т.к. в числителе находится степень cosx, то удобной подстановкой является


1234Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.