Доказательство.. Замечание.. Правило Лопиталя

Доказательство.

1) Покажем сначала, что , т.е. что формула имеет смысл. Покажем от противного.

Пусть , тогда функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля, т.е. существует точка , в которой а это противоречит условию, что на . Отсюда, .

2) Рассмотрим на следующую вспомогательную функцию: , где выберем так, чтобы выполнялось равенство: , равносильное следующему: . Отсюда:

. (**)

Т.к. функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , а при значениях , определяемых формулой (**) принимает равные значения в концах интервала , то по теореме Ролля существует точка такая, что т.е. , отсюда:

. (***)

Сравнивая формулы (**) и (***), получим

(что и требовалось доказать)

Замечание.

Формула называется обобщенной формулой конечных приращений.

2. Правило Лопиталя

1. Неопределенность вида .

Теорема 2.1.Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки а и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестности точки а. Если существует предел (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

Замечание 1.Теорема справедлива при .

Замечание 2.Если представляет собой неопределенность и функции и удовлетворяют условиям теоремы 2.1, то

2. Неопределенность вида .

Теорема 2.2. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки а (кроме, может быть, самой точки а), в этой окрестности . Пусть в окрестности точки а. Если существует предел (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула