Основные теоремы о дифференцируемых функциях

1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

1.1. Теорема Ролля (Ролль Мишель, француз, 1652 – 1719 г.)

Если функция непрерывна на отрезке , принимает на концах этого отрезка равные значения, т.е.

, (1)

дифференцируема на интервале , тогда существует точка такая, что

Доказательство.

Пусть непрерывна на отрезке , тогда по второй теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своего максимального и минимального значений, т.е. существуют точки и , принадлежащие отрезку такие, что , причем .

Рассмотрим два случая:

1) , следовательно, , тогда в любой точке .

2) , при этом , поэтому . В силу условия (1) хотя бы одна точка или является внутренней точкой . Пусть, например, точка . Тогда существует такая δ-окрестность точки , в которой выполняется условие для . Тогда:

если , то и ;

если , то и .

Т.к. функция дифференцируема в точке , то в этой точке существует предел, при этом существуют односторонние пределы:

Оба предела равны между собой только в случае, когда , т.е. условие (1) выполняется при .

Аналогично рассматривается случай, когда .

(что и требовалось доказать)

y=f(х)

Замечания.

1.Геометрический смысл теоремы: у графика функции, удовлетворяющей всем трем условиям теоремы Ролля, существует точка , в которой касательная параллельна оси Ох.

2. Все три условия теоремы существенны. Например, рассмотрим функцию на отрезке . Данная функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , но , поэтому не существует точки , в которой

12 3 Следующая ⇒