Теорема Лагранжа (Жозеф Луи Лагранж, француз, 1736 – 1813 г.р.)

1.2. Теорема Лагранжа (Жозеф Луи Лагранж, француз, 1736 – 1813 г.р.)

Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то в этом интервале найдется хотя бы одна точка такая, что

Доказательство.

Для доказательства введем в рассмотрение на следующую вспомогательную функцию:

где выберем таким, чтобы выполнялось условие , т.е. .

Отсюда находим:

. (*)

Т.к. непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и принимает в концах этого интервала равные значения, то по теореме Ролля существует точка такая, что выполняется равенство:

Отсюда, в силу условия (*) получим:

(что и требовалось доказать)

f(b)-f(a)

b - a

f(b)

f(a)

f(c)

y = f(x)

M₁

M₂

Замечания.

1.Величина угловой коэффициент секущей , проходящей через точки и к кривой , угловой коэффициент касательной l к графику функции в точке , а так как , то обязательно существует точка такая, что касательная l к кривой в точке параллельна секущей .

Таких точек с может быть несколько, но, по крайней мере, одна существует.

2. Равенство называется формулой конечных приращений Лагранжа.

1. 3. Теорема Коши (Огюстен Луи Коши, француз, 1789 – 1857 г.р.)

Если функции , непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем во всех точках этого интервала, тогда найдется хотя бы одна точка такая, что справедлива формула:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒