Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .Найти координаты центра масс тела, предполагая, что оно однородно.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

РЕШЕНИЕ. Данное тело ограничено снизу параболоидом , сверху плоскостью z=h и проектируется в круг плоскости XOY.

х Рис.2.4. Область интегрирования

Используем цилиндрические координаты:

в которых уравнение параболоида будет

т.е. .

Объем тела равен

Координаты центра масс тела вычисляются по формулам

где

где - плотность тела в точке (х,y,z). Для однородного тела можно положить

Находим:

Таким образом

2.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА МATHCAD ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ

КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ЗАДАЧА. Вычислить тройной интеграл

где (т.о. Т – часть области, ограниченной эллипсоидом , лежащая в неотрицательном октанте пространства).

РЕШЕНИЕ. Выполняя переход от кратного интеграла к повторным интегралам, получаем

(*)

Обратимся к Mathcad. Вызовем на экран математическую палитру. Из окна математической палитры вызовем Arithmetic Palette и Calculus Palette. Наберем на экране правую часть равенства (*). Для набора знака определенного интеграла используем Calculus Palette, действуя мышью. Все остальное набираем или клавиатурой или – математические знаки –с помощью Arithme- tic Palette, действуя мышью. По окончании набора нажмем клавишу ПРОБЕЛ и затем знак "=" (равно). Справа от знака "=" появляется результат: 1.994.

Задача решена.

3.ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ.

3.1. ЗАДАЧА 1

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, сделав чертеж области интегрирования.

Таблица 3.1