Кратные интегралы

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Министерство образования Российской Федерации

Курский государственный технический университет

Кафедра высшей математики

Кратные интегралы

Методические указания и индивидуальные задания

для тренинга и контроля

Курск 2001

Составители: И.Н. Бурилич, В.И. Дмитриев

Кратные интегралы: Методические указания и индивидуальные задания для тренинга и контроля / Курск. гос. техн. ун-т; Сост. И.Н. Бурилич, В.И. Дмитриев. Курск, 2001.30 с.

Предназначены для студентов всех специальностей всех форм обучения

Рецензент канд. техн. наук, доц. В.И.Дроздов

Текст печатается в авторской редакции

ЛР №020280 от 09.12.96. ПЛД № 50-25 от 1.04.97.

Подписано в печать . . . . . . . . . . . . . . . . Формат 60 х 84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,87 . Уч. – изд. л. 2.01 . Тираж 100 экз. Заказ . . . . . Бесплатно.

Курский государственный технический университет.

Подразделение оперативной полиграфии Курского государственного

технического университета.

Адрес университета и подразделения оперативной полиграфии:

305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

Содержание

1. Общие указания …………………………………………………………4

2. Образцы выполнения заданий …………………………………………4

2.1. Задача 1……………………………………………………………..4

2.2. Задача 2 …………………………………………………………….5

2.3. Задача 3 …………………………………………………………….6

2.4. Задача 4-5 …………………………………………………………..7

2.5. Использование пакета "Mathcad" при вычислении

кратных интегралов ………………………………………………9

3. Индивидуальные задания …………………………………………… 11

3.1. Задача 1…………………………………………………………… 11

3.2. Задача 2 ……………………………………………………………16

3.3. Задача 3 ……………………………………………………………22

3.4. Задача 4-5 ………………………………………………………… 24

3.5. Задача 6 ……………………………………………………………29

Библиографический список ……………………………………………..30

1. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

Настоящее пособие предназначено для студентов, изучающих раздел "Кратные интегралы" курса математики. Оно может использоваться как тематический многовариантный сборник задач тренингового характера для студентов дистанционной формы образования – в особенности тьюторами при контактном обучении, - а также как сборник заданий по соответствующему модулю системы РИТМО.

Студент, изучающий курс математики по модульной системе, должен выполнить индивидуальное задание, определяемое номером n студента в журнале группы и указаниями преподавателя. Рекомендуется трехуровневая система комплектации индивидуальных заданий. Уровни 1-й, 2-й, 3-й предлагают студенту набор задач, решение которых требует соответственно, по меньшей мере, удовлетворительного, хорошего, отличного знания темы "Кратные интегралы". Каждый студент – в зависимости от степени своей математической подготовки – должен: 1) выбрать определенный уровень; 2) выполнить задания этого уровня. Возможный комплект заданий: для первого уровня – 1, 2, 3; для второго – 1, 2, 3, 4; для третьего 1-5.

Задача 6 предлагается тем студентам, которым необходимо освоить технику интегрирования в размерностях, больших 3.

Задачи 2 – 6 могут быть решены на ЭВМ с помощью, например программного пакета Mathcad. Порядок действий при этом таков: n-кратный интеграл, подлежащий вычислению, следует предварительно преобразовать в повторный, т.е. представить его как результат n последовательных однократных интегрирований. Повторный интеграл непосредственно вычисляется соответствующей программой Mathcad^'a.

2. ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

2.1. ЗАДАЧА 1

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

РЕШЕНИЕ. Область интегрирования органичена прямыми y = 1, y = 3, x = 0, x = 2y. На рис.2.1. она представляет трапецию АВСD.

D Н С

А В

0 х

Рис.2.1. Область интегрирования

При интегрировании в другом порядке, вначале по y, необходимо разбить область АВСD прямой BH, параллельной Оy на две части, так как нижняя линия границы этой области состоит из двух частей АВ и ВС, которые имеют уравнения y = 1 и y = x/2.

Поэтому интеграл при изменении порядка интегрирования окажется равным сумме двух интегралов

2.2. ЗАДАЧА 2

Вычислить двойной интеграл

где D – круговое кольцо, заключенное между окружностями

(рис.2.2)

Рис.2.2. Область интегрирования D

РЕШЕНИЕ. Преобразуем двойной интеграл, отнесенный к декартовым координатам (x,y), в двойной интеграл в полярных координатах (r,j). Имеем . Якобиан соответствующего преобразования равен r.