Иллюстрация метода

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Иллюстрация метода

Пример 3. Решить НФУ примера 1.

Имеем F(i) = 6,7i³ – 30i² + 3,3i + 40 = 0.

Находим F’(i) = 20,1i² – 60i + 3,3.

Считая нулевым приближением i₀ = 0, получим на основании (16.10) первое приближение

Поскольку в рассматриваемой цепи (рис.16.1) ток i > 0, прекращаем итерацию и выбираем новое значение i₀ = 1.

Тогда на первом шаге расчета

Следующий шаг итерационного расчета дает значение

i₂ = 1,55 – (6,7×1,55³ - 30×1,55² + 3,3×1,55 + 40) :

: (20,1×1,55² - 60×1,55 + 3,3) = 1,502,

что практически соответствует данным аналитического расчета в примере 1.

Как видим, при численном расчете большое значение имеет удачный выбор исходного приближения. В относительно простых задачах нулевое приближение часто определяют в результате приближенного графического расчета.

Алгоритм расчета методом Ньютона-Рафсона имеется в математическом обеспечении ЭВМ.

5. МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ ЦЕПИ

Метод используется, если в заданном (рабочем) диапазоне изменений напряжений (токов) ВАХ элементов цепи можно заменить эквивалентными прямыми линиями, т.е. ВАХ могут быть аппроксимированы прямыми. При этом нелинейный элемент может быть представлен эквивалентным линейным участком, а вся нелинейная электрическая цепь – эквивалентной линейной схемой замещения.

Алгоритм расчета. Метод приведения нелинейной электрической цепи к эквивалентной линейной предполагает выполнение следующих операций:

1) составление исходной схемы замещения цепи;

2) линеаризация вольтамперных элементов на избранных участках и аналитическую запись уравнений линеаризированных кривых;

3) составление схемы замещения эквивалентной линейной электрической цепи;

4) аналитический расчет токораспределения в линейной эквивалентной цепи обычными методами.

Иллюстрация метода.

Идею, суть, алгоритм расчета рассмотрим на примере конкретной нелинейной цепи (рис.16.3), которая содержит вилитовый разрядник FV и лампу накаливания HL. Необходимо рассчитать токораспределение в заданной нелинейной цепи.

Рисунок 16.3 – Принципиальная Рисунок 16.4 – Схема замещения

электрическая цепи

схема цепи

Решение.

1. Составляем расчетную схему замещения цепи (рис.16.4).

2. Вольтамперные характеристики нелинейных элементов (рис.16.5, 16.6) имеют участки, близкие к прямым линиям, что позволяет аппроксимировать их прямыми в диапазоне токов _DI₁ и _DI₂. Вычерчиваем заданные вольтамперные характеристики элементов цепи (рис.16.5, 16.6), производим линеаризацию рабочих участков (участки А-В).

Рисунок 16.5 – ВАХ лампы Рисунок 16.6 – ВАХ разрядника

3. Производим аналитическую запись линеаризированных участков ВАХ (уравнения пунктирных прямых).

Из рисунка 16.5 U₁ + U₀₁ = I₁tgb₁ = I₁R_диф1 (16.11)

Из рисунка 16.6 U₂ + U₀₂ = I₂tgb₂ = I₂R_диф2 (16.12)

В соответствии с соотношением (16.3) определяем дифференциальные сопротивления элементов R_д1 и R_д2 по вольтамперным характеристикам (рис.16.5, 16.6):

R_д1 = кtgb₁; R_д2 = кtgb₂.

Уравнениям (16.11) и (16.12) соответствуют эквивалентные схемы замещения (рисунки 9 и 10)

Рисунок 16.7 – Эквивалентная схема Рисунок 16.8 – Эквивалентная схема

замещения лампы замещения разряд-

накаливания ника

4. Вычерчиваем схему замещения эквивалентной линейной цепи (рис.16.9)

Рисунок 16.9 – Эквивалентная схема замещения цепи

5. Токораспределение в полученной схеме рассчитывается обычными методами.

Выбираем метод законов Кирхгофа

6. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

В основе графического метода лежит графическое решение нелинейных уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, с использованием вольтамперных характеристик нелинейных элементов цепи.

Исходными данными являются схема цепи и ВАХ нелинейных элементов цепи, выполненные в едином масштабе. Если заданы только типы нелинейных элементов, то их ВАХ определяются по справочникам.

Цель расчета – определение токораспределения в цепи.

Алгоритм расчета. Расчет цепи графическим методом предполагает выполнение следующих операций:

1) составление схемы замещения цепи;

2) вычерчивание на общем графике в едином масштабе вольтамперных характеристик всех элементов цепи;

3) построение вольтамперных характеристик эквивалентных участков и вольтамперной характеристики всей цепи;

4) определение по результирующей вольтамперной характеристики цепи тока в цепи (обратная задача) или напряжения на зажимах цепи (прямая задача);

5) определение токов и напряжений в ветвях и на элементах по вольтамперным характеристикам элементов и участков с использованием результатов п.4.

Иллюстрация метода.

Пример 1. Последовательное соединение элементов.

Рис.16.10

Дано:

1) схема замещения цепи (рис.16.10);

2) ВАХ элементов цепи (рис.16.11);

3) напряжение источника U_зад.

Определить: ток в цепи и напряжения на элементах.

Рис.16.11

Решение.

1. Строим ВАХ U₁(I) и U₂(I) в едином масштабе.

2. Записываем уравнение последовательной цепи на основании второго закона Кирхгофа:

U(I) = U₁(I) + U₂(I). (16.13)

и решаем его графически, задаваясь последовательно токами I₁, I₂, ..., I_k и для каждого тока суммируя ординаты ВАХ первого и второго нелинейных элементов (а₁в₁ + а₁с₁ = а₁d₁, ...а_кв_к + а_кd_к). В результате графического суммирования ВАХ первого и ВАХ второго элементов получаем результирующую ВАХ всей цепи U(I) (рис.16.11).

3. По построенной ВАХ U(I), задаваясь напряжением на зажимах цепи U_зад, определяем искомый ток в цепи I_иск.

4. По полученному току I_иск, входя в ВАХ нелинейных элементов, находим напряжения на элементах цепи U₁ и U₂.

Возможно решение обратной задачи: по заданному току I_зад находят напряжение на входе цепи U_иск и напряжения на элементах цепи U₁ и U₂.

Очевидно, что этим методом можно анализировать электрическую цепь, состоящую из любого числа последовательно соединенных нелинейных и линейных элементов.

Пример 2.

Рис.16.12

Дано:

1) схема замещения цепи (рис.16.12);

2) ВАХ элементов цепи (рис.16.13);

3) напряжение источника U_зад.

Определить: токи в ветвях.

Рис.16.13

Решение.

1. Строим ВАХ U(I₁) и U(I₂) в едином масштабе.

2. Записываем уравнение параллельной цепи на основании первого закона Кирхгофа:

I(U) = I₁(U) + I₂(U) (16.14)

и решаем его графически, задаваясь последовательно напряжениями U₁, U₂ ..., U_к и для каждого напряжения суммируя абсциссы ВАХ первого и второго нелинейных элементов (а₁в₁ + а₁с₁ = а₁d₁, ...а_кв_к + а_кс_к = а_кd_к).

В результате графического суммирования ВАХ первого и ВАХ второго элементов получаем результирующую ВАХ всей цепи U(I) (рис.16.13).

3. По построенной ВАХ U(I), задаваясь напряжением на зажимах цепи U_зад, определяем искомые токи I, I₁ и I₂.

Возможно решение обратной задачи: по I_зад находят U, I₁ и I₂.

Пример 3. Смешанное соединение элементов.

Рис.16.14

Дано:

1) схема замещения цепи (рис.16.14);

2) ВАХ элементов цепи (рис.16.15);

3) напряжение источника U_зад.

Определить: токи в ветвях.

Рис.16.15

Решение.

1. Строим ВАХ всех элементов в едином масштабе:

- ВАХ R₁ – кривая 1

U₁₂(I₁) = F₁(I₁);

- ВАХ R₂ – кривая 2

U₁₂(I₂) = F₂(I₂);

- ВАХ R₃ – кривая 3

U₃(I) = F₃(I).

2. Записываем уравнение параллельного участка цепи 1-2 на основании первого закона Кирхгофа

I₁(U₁₂) + I₂(U₁₂)= I(U₁₂) (16.15)

и решаем его графически, задаваясь последовательно напряжениями и для каждого напряжения суммируя абсциссы ВАХ первого и второго нелинейного элементов (кривых 1 и 2) (ав + ас = аd и т.д.). В результате графического суммирования ВАХ первого и ВАХ второго элементов получаем результирующую ВАХ участка 1-2 (кривая 4 на рис.16.15).

Записываем уравнение всей цепи (последовательно включенного участка 1-2 и резистора R₃) на основании второго закона Кирхгофа

U₁₂(I) + U₃(I) = U(I) (16.16)

и решаем его графически, задаваясь последовательно токами и для каждого тока суммируя ординаты ВАХ участка 1-2 и ВАХ резистора R₃ (кривой 4 и прямой 3) (а’в’ + а’с’ = а’d’ и т.д.). В результате этого суммирования получаем ВАХ всей цепи (кривая 5 на рис.16.15).

4. По заданному напряжению U_зад и ВАХ всей цепи U(I) (кривой 5) находим искомый ток I в неразветвленном участке цепи.

5. По полученному току I в неразветвленном участке цепи и по ВАХ участка 1-2 U₁₂(I) (кривой 4) находим напряжение U₁₂ между токами 1 и 2.

6. По напряжению U₁₂ и ВАХ нелинейных резисторов R₁и R₂ находим токи I₁ и I₂ в ветвях.

Таким образом, при графическом расчете цепи со смешанным соединением элементов вначале строят эквивалентную ВАХ для параллельного участка на основе первого закона Кирхгофа, а затем общую ВАХ для всей цепи (последовательного участка) на основе второго закона Кирхгофа.

7. ТОК В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЗИСТОРЕ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ

СИНУСОИДАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ

7.1. АНАЛИЗ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Графические методы позволяют определить реакцию произвольного безынерционного нелинейного элемента на заданное внешнее воздействие.

Пусть i(u) – ВАХ некоторого нелинейного резистора (рис.16.1), причем напряжение u – величина, принятая в качестве внешнего воздействия, а ток i – величина, рассматриваемая как реакция нелинейного резистора на это воздействие.

Построим на этом же резисторе зависимость внешнего воздействия u = u(t) и реакции i = i(t) от времени. График u(t) расположим в нижней части рисунка так, чтобы ось и этого графика была параллельна оси и вольтамперной характеристики, а ось времени – направлена вниз и являлась продолжением оси графика i(u). Зависимость i = i(t) построим в правой части рисунка так, чтобы ось времени была направлена вправо и явилась продолжением оси и графика i(u), а ось i(t) была расположена параллельно оси i ВАХ.

Алгоритм анализа. Для определения реакции цепи на заданное внешнее воздействие необходимо для каждого момента времени t₁ выполнить следующие графические построения:

1) по графику функции u(t) найти мгновенное значение внешнего воздействия u(t₁);

2) по ВАХ i(u) определить соответствующее этому внешнему воздействию мгновенное значение реакции i(t₁) на графике i = i(t).

Рис.16.1

Очевидно, что при увеличении числа точек на временной оси, для которых выполняются такие построения, точность нахождения реакции элемента на заданное внешнее воздействие возрастает.

Недостатком рассматриваемого приема является то, что графики u(t) и i(t) построены в разных местах чертежа, а это неудобно при определении взаимно соответствующих точек на временных осях и затрудняет сравнение формы кривых напряжения u(t) и тока i(t).

Этот недостаток может быть устранен, если график u(t) построить непосредственно под графиком i(t) (рис.16.2). В этом случае линии, проецирующие точки графика и = u(t) на ВАХ i(и), перегнутся под углом 90⁰, причем токи перегиба расположатся на некоторой вспомогательной прямой, проведенной под углом 45⁰ к координатным осям через точку пересечения оси i ВАХ и оси времени зависимости i = i(t).

Рис.16.2

Таким образом, из выполненного графическим методом анализа следует, что реакция нелинейной цепи на гармоническое воздействие в общем случае не является гармонической функцией времени.

Графические построения, приведенные на рис.16.2, можно использовать и для решения обратной задачи – определения вида ВАХ безынерционного нелинейного резистивного элемента по известной реакции этого элемента на заданное внешнее воздействие.

Например, на рис.16.3 показано, как с помощью описанных графических построений найти вид ВАХ нелинейного резистивного элемента, обеспечивающего двустороннее ограничение гармонических колебаний.

Рис.16.3

7.2. АНАЛИЗ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Графические методы анализа позволяют установить только качественное соответствие между видом ВАХ нелинейного резистивного элемента и реакцией этого элемента на заданное гармоническое воздействие. Для получения количественных соотношений необходимо воспользоваться аналитическими методами.

Пусть ВАХ некоторого нелинейного резистора может быть аппроксимирована полиномом n-й степени

(16.1)

а внешнее воздействие u = u(t) является гармонической функцией времени

u = U_mcoswt. (16.2)

Подставляя (16.2) в (16.1) и выражая слагаемые вида a_k(U_mcoswt)^k через гармонические функции кратных частот

и т.д.,

получаем (16.3)

где

Анализ полученных выражений (16.3) показывает, что при полиноминальной вольтамперной характеристике нелинейного элемента и гармоническом воздействии на НЭ:

1. Реакция нелинейного элемента на гармоническое внешнее воздействие определенной частоты w представляет собой сумму постоянной составляющей I₀ и гармонических составляющих (гармоник) с частотами, кратными частоте внешнего воздействия.

2. Основные гармоники напряжения и тока совпадают по фазе, т.е. резистивный элемент потребляет только активную мощность по первой гармонике.

3. Амплитуда k-й гармоники I_mk зависит только от членов полинома k-й и более высоких степеней.

4. Амплитуды четных гармоник и постоянная составляющая определяется только членами полинома четных степеней, а амплитуды нечетных гармоник – членами полинома нечетных степеней. Следовательно, если ВАХ нелинейного резистора аппроксимируется четным полиномом, то реакция нелинейного резистора не будет содержать нечетных гармоник, а если ВАХ аппроксимируется нечетным номиналом, то реакция нелинейного резистора на гармоническое воздействие не будет содержать постоянной составляющей и четных гармоник.

Таким образом, выражение (16.3) иллюстрирует важнейшее свойство нелинейных цепей, заключающееся в том, что их реакция на гармоническое воздействие содержит колебания различных частот (в том числе и нулевой), т.е. нелинейная цепь является генератором колебаний, частота которых отличается от частоты внешнего воздействия.

Если функционирование нелинейной частоты не связано с использованием высших гармоник, то нелинейность ВАХ реальных элементов приводит к искажению формы воздействующих колебаний. Такие искажения называются нелинейными. Нелинейные искажения носят паразитный характер и строго нормируются.

Количественно нелинейные искажения оцениваются с помощью коэффициента гармоник

(16.;)

определяемого как отношение корня квадратного из суммы квадратов действующих значений всех гармонических составляющих А₂, А₃, А₄, ..., кроме первой, к действующему значению первой (основной) гармоники А₁.

8. ОСНОВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.

Появление в спектре тока нелинейного резистивного элемента составляющих с частотами, которых не было во входном сигнале, широко используется в технике.

Обобщенную структурную схему устройств, принцип работы которых основан на использовании тех или иных составляющих спектра тока резистивного НЭ можно представить в виде сочетания нелинейного четырехполюсника (НЧ) (шестиполюсника НШ) и линейного фильтра (ЛО) рис. 16.4 а, б.

Рис. 16.4

Нелинейный шестиполюсник имеет еще два зажима, к которым присоединяется источник управляющего напряжения или тока.

Конкретная схема НЧ (НШ) и частотная характеристика фильтра определяются назначением устройства.

С помощью НЧ и НШ можно осуществить ряд практически важных преобразований:

1) Преобразовать переменный ток в постоянный. Устройства, предназначенные для этого называются выпрямителями.

2) Преобразовать постоянный ток в переменный с помощью устройств, которые называются автогенераторами и инверторами;

3) Осуществить умножение частоты, т. е. получить на выходе напряжение, частота которого в несколько раз больше частоты входного напряжения (умножители частоты)

4) Произвести деление частоты (делители частоты)

5) Стабилизировать напряжение (ток), т. е получить на выходе напряжение (ток), почти не изменяющееся по модулю при значительном изменении входного напряжения, т. н. стабилизаторы напряжения (тока);

6) Преобразовать желательным образом форму входного напряжения;

7) Усиление напряжения и тока;

8) Усиление мощности;

9) Триггерный эффект, т. е. эффект резкого (скачкообразного) изменения выходной величины при незначительном изменении входной (электронные ключи, устройства памяти);

10) Модуляция и демодуляция сигнала в радиотехнических устройствах.

⇐ Предыдущая 1 23