Из уравнений

Стр 1 из 3Следующая ⇒

ЛЕКЦИЯ № 16

АППРОКСИМАЦИЯ ВАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕДИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Учебные вопросы

1. Аппроксимация ВАХ нелинейных элементов. Полиномиальная аппроксимация.

2. Кусочно-линейная аппроксимация.

3. Классификация методов анализа нелинейных цепей.

4. Аналитические и численные методы анализа нелинейных цепей постоянного тока.

7. Ток в нелинейном резисторе при воздействии синусоидального напряжения.

8. Основные преобразования, осуществляемые с помощью нелинейных электрических цепей переменного тока.

1. АППРОКСИМАЦИЯ ВОЛЬТ-АМПЕРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Вольт-амперные характеристики реальных элементов электрических цепей обычно имеют сложный вид и представляются в виде графиков или таблиц экспериментальных данных. В ряде случаев непосредственное применение ВАХ, задаваемых в такой форме, оказывается неудобным и их стремятся описать с помощью достаточно простых аналитических соотношений, качественно отражающих характер рассматриваемых ВАХ.

Замена сложных функций приближенными аналитическими выражениями называетсяаппроксимацией.

Аналитические выражения, аппроксимирующие ВАХ нелинейных резистивных элементов, должны как можно более точно описывать ход реальных характеристик.

Следовательно, задача аппроксимации ВАХ включает в себя две самостоятельные задачи:

1) выбор аппроксимирующей функции;

2) определение значений входящих в эту функцию постоянных коэффициентов наиболее часто используются два вида аппроксимации ВАХ нелинейных элементов:

- полиномиальная;

- кусочно-линейная.

1.1. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Аппроксимация степенным полиномом выполняется на основе формулы ряда Тейлора для ВАХ НЭ:

(16.5)

т.е. ВАХ в данном случае должна быть непрерывной, однозначной и абсолютно гладкой (должна иметь производные любого порядка).

В практических расчетах обычно ВАХ не дифференцируют, а требуют, например, чтобы аппроксимирующая кривя (16.5) прошла через заданные токи.

В так называемом методе трех точек необходимо, чтобы некоторые три точки ВАХ:

(i₁, u₁), (i₂, u₂), (i₃, u₃) – отвечали номиналу (16.5) (рис.16.9).

Рис.16.9

Из уравнений

(16.6)

несложно найти искомые коэффициенты a₀, a₁, a₂, поскольку относительно их система (16.6) линейна.

Если ВАХ сильно изрезана и требуется отразить ее особенности, необходимо учитывать большее число точек ВАХ. Система типа (16.6) становится сложной, однако ее решение может быть найдено по формуле Лагранжа, определяющей уравнение полинома, проходящего через n точек:

(16.7)

где A_k(u) = (u – u₁) ... (u – u_k-1) (u – u_k+1) ... (u – u_n).

Пример. Пусть нелинейный элемент имеет ВАХ, заданную графически (рис.16.10).

Рис.16.10

Требуется аппроксимировать ВАХ ИЭ степенным полиномом.

Решение

На графике ВАХ выделяются четыре точки с координатами:

k
u_нэ
i

На основании формулы Лагранжа (16.7) получим

Таким образом, аппроксимирующая функция имеет вид

и_нэ = -6,7i³ + 30i² – 13,3i.

2. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

При кусочно-линейной аппроксимации ВАХ НЭ аппроксимируется совокупностью линейных участков (кусков) вблизи возможных рабочих точек.

Пример. Для двух участков нелинейной ВАХ (рис.16.11) получим:

Рис.16.11

крутизна первого участка линеаризации

крутизна второго участка линеаризации

Пример. Пусть требуется линеаризировать участок ВАХ между токами А и В, который используется в качестве рабочей области около рабочей точки Р (рис.16.12).

Рис.16.12

Участок АВ ВАХ НЭ заменяем отрезком прямой линии с крутизной

Тогда уравнение линеаризированного участка ВАХ вблизи рабочей точки Р будет

Очевидно, что аналитическая аппроксимация ВАХ верна только для выбранного участка линеаризации.

3. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

Цель анализа нелинейных цепей та же, что и линейных: по заданной схеме электрической цепи, параметрам линейных элементов и ВАХ нелинейных элементов определится токораспределение в цепи (при заданном входном напряжении) или напряжении на входе цепи (при заданном токе в какой-либо ветви).

При разработке методов анализа нелинейных цепей учитываются следующие их свойства.

1. Справедливы уравнения, составляемые по законам Кирхгофа.

2. Несправедливы в общем случае все свойства линейности:

- пропорциональности (однородности);

- дифференцируемости и интегрируемости;

- наложения, т.е. аддитивности и суперпозиции.

3. ВАХ нелинейных элементов, как правило, задаются графически или таблично. Получение аналитических выражений, аппроксимирующих ВАХ нелинейных элементов с достаточной точностью, является сложной задачей. При этом необходимо находить компромисс между точностью и сложностью модели.

На этих свойствах базируется множество методов расчета нелиненых цепей, которые можно разделить на четыре группы:

1) аналитические методы;

2) численные методы;

3) графо-аналитические методы;

4) графические методы.

Аналитические методы основаны на использовании аналитических зависимостей, полученных в результате аппроксимации ВАХ нелинейных элементов. На базе этих зависимостей и законов Кирхгофа составляется система нелинейных алгебраических уравнений.

Успешное применение метода зависит от того, насколько точно удалось аппроксимировать ВАХ и насколько просто решается полученная система нелинейных алгебраических уравнений.

Использование аналитических методов ограничено сложностью нелинейной цепи и высоким порядком аппроксимирующего степенного полинома ВАХ. Простое аналитическое решение системы нелинейных уравнений удается получить при аппроксимации ВАХ полиномом второго порядка. Для расчета боле сложных цепей применяют численные методы.

Таким образом, аналитические методы имеют следующие недостатки:

- ограниченность применения;

- менее наглядны, чем графические методы;

- громоздки.

Однако они имеют существенное достоинство – с их помощью удается получить общие расчетные зависимости.

Численные методы (итерационный, последовательных приближений и др.) основаны на реализации процесса последовательных приближений (итерационного процесса). Сначала находят приближенное решение или задаются им, а затем его уточняют путем многократной подстановки каждого решения в исходное уравнение цепи.

Итерационные методы успешно используются для численного решения задачи при помощи ЭВМ.

Таким образом, при малой наглядности численные методы имеют следующее достоинство: применение ЭВМ для решения конкретных задач при заданных параметрах и характеристиках электрических цепей дает возможность рассчитывать режим в сложных нелинейных цепях с любой требуемой точностью.

Графо-аналитические методы (метод линеаризации цепи, метод кусочно-линейной аппроксимации и др.) заключаются в замене нелинейной ВАХ некоторой ломаной линией, причем каждому линейному участку ломаной ставится в соответствие линейный двухполюсник.

Таким образом, нелинейные элементы заменяют эквивалентными линейными двухполюсниками, а вся цепь линеаризуется. Далее решение задачи выполняется методами расчета линейных цепей.

Достоинства графо-аналитических методов – простота и наглядность, недостаток – приближенность полученных результатов.

Графические методы основаны на графическом решении нелинейных уравнений для токов и напряжений цепи, составленных с помощью законов Кирхгофа, т.е. на построении семейства вольтамперных характеристик для заданной цепи и определении искомых электрических величин по этим характеристикам.

Достоинства графических методов – простота и наглядность, недостатки – ограниченность применения только простыми цепями, удовлетворительная точность решения задачи.

4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

4.1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗИСТИВНЫХ

ЦЕПЕЙ ПРИ ПОЛИНОМИНАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Алгоритм расчета. Последовательность расчета такая же, как и в ряде других аналитических методов.

1. Аппроксимируют ВАХ нелинейных элементов удобным аналитическим выражением, в данном случае степенным полиномом:

i(u) = a₀ +a₁u + a₂u² + ... + a_nuⁿ (16.1)

Если ВАХ немонотонна, и требуется отразить ее особенности, учитывается большее число точек ВАХ. При этом коэффициенты аппроксимации определяются по формуле Лагранжа (16.7).

2. Составляют систему уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа.

Методика составления уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа остается такой же, как и в случае линейных цепей.

По первому закону Кирхгофа записываются n₁ = q – 1 уравнений для независимых узлов вида:

где q – количество узлов в цепи;

m – число ветвей, сходящихся в узле.

По второму закону Кирхгофа записываются n₂ = р – q + 1 уравнений для независимых контуров вида:

где n – число ветвей, входящих в контур;

p – число ветвей, входящих в цепь.

Далее система уравнений, описывающая состояние цепи дополняется уравнениями, аппроксимирующими ВАХ нелинейных элементов вида (16.1).

3. Исключают из системы уравнений промежуточные переменные и находят нелинейное функциональное уравнение (НФУ) для отыскания искомого тока (напряжения):

q(i) = в₀ + в₁i + в₂i² + ... + в_niⁿ = 0 (16.2)

4. Решают НФУ (16.2) для каждого момента времени и находят искомые значения тока (напряжения). При этом используют методы решения нелинейных алгебраических уравнений. Однако процесс решения НФУ может существенно затрудниться.

12 3 Следующая ⇒