Задача 11. Задача 12. Задача 13. Задача 14. Задача 15. Задача 16. Задача 17. Задача 18. Задача 19. Задача 20

Задача 11

Пусть матрица А перестановочна с любой квадратной матрицей размера 5. Что можно сказать о ее жордановой нормальной форме?

Задача 12

Пусть квадратная матрица состоит из одних единиц. Какова ее жорданова нормальная форма?

Задача 13

Найти ехр(А), где А - квадратная матрица, состоящая из одних единиц, размера 2.

Задача 14

Пусть матрица А обладает свойством , где --- единичная матрица. Что можно сказать о ее жордановой нормальной форме?

Задача 15

Пусть - собственное значение матрицы А. Верно ли, что у матрицы f(A), где f-многочлен одной переменной, имеется собственное значение f( )?

Задача 16

Пусть жорданова нормальная форма матрицы А состоит из одной клетки. Что можно сказать о жордановой нормальной форме А²?

Задача 17

Верно ли, что оператор нильпотентен тогда и только тогда, когда все его собственные значения равны нулю?

Задача 18

Каков минимальный многочлен матрицы А², если жорданова нормальная форма матрицы А состоит из двух клеток?

Задача 19

Доказать, что если оператор А невырожденный, то операторы и имеют одни и те же собственные векторы.

Задача 20

Найти все квадратные матрицы, каждая из которых подобна только самой себе.