|
|||||||
ОпределениеОпределение Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где - положительные числа. Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому . Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .
Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 11). Рис. 11.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью Сечение плоскостью также является гиперболой, с уравнением . Построим гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис.12). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями . Уравнения этих линий Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если . Если или , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку или . Эти точки называются вершинами гиперболоида. Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду Введём обозначения , , тогда уравнение примет вид Данное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Нарисуем полученные сечения (рис. 12). Рис. 12 Изображение двуполостного. Рис. 13. Двуполостный гиперболоид. Рис. 14 Двуполостный гиперболоид гиперболоида с помощью сечений вращения Если в уравнении , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис.14).
|
|||||||
|