МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

"МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Т.Ф. Червоняк.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ТЕЛ.

ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ ПОВЕРХНОСТИ.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ.

Методические указания к выполнению самостоятельной работы по начертательной геометрии для студентов-бакалавров технологического направления

Мурманск

Поверхности и тела

Все поверхности можно подразделить на графические, закон образования которых нам не известен, и геометрические, закон образования которых известен.

Графическая поверхность, отнесенная к земной поверхности, называется топографической.

Геометрические поверхности могут быть образованы движением в пространстве прямой или кривой линии, которая называется образующей.

В зависимости от формы образующей поверхности делятся на линейчатые, когда образующей служит прямая линия, и нелинейчатые, когда образующей служит кривая, например.

По закону движения образующих можем иметь поверхности с поступательным движением, с вращательным движением – поверхности вращения, и с винтовым движением – винтовые поверхности.

По признаку развертывания поверхности могут быть развертываемыми и не развертываемыми.

По признаку направляющих, которые могут быть ломаными, прямыми или кривыми, поверхности могут быть гранными или кривыми.

Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется телом.

Проецирование геометрических тел. Проецирование многогранников

Рассмотрим две группы тел: многогранники и тела вращения.

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Многогранник, две грани которого конгруэнтны, а остальные пересекаются по параллельным прямым, называется призмой (рис.1 а, б, в, г, д).

Название призмы зависит от того, какой многоугольник лежит в ее основании, если треугольник, то и призма называется треугольной, если четырехугольник, то призма будет называться четырехугольной и т.д.

Призма, основанием которой служит параллелограмм, называется параллелепипедом (рис. 1 в). Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого конгруэнтны между собой, называется кубом (рис.1 а).

е) ж) з) и)

Рис. 1

Прямая призма - это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма - это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы - равные прямоугольники.

Многогранник, одна грань которого, называемая основанием, есть многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой (рис.1 е, ж, з).

Другими словами можно сказать: многогранник, у которого все грани за исключением одной являются треугольниками с общей вершиной, называется пирамидой. Эти треугольники называют боковыми гранями, а оставшуюся грань – основанием пирамиды. Если основание – n-угольник, то пирамиду называют n-угольной.

Треугольную пирамиду еще называют тетраэдром, а тетраэдр, у которого все ребра равны, – правильным тетраэдром.

Ребра пирамиды, не принадлежащие основанию, называют боковыми ребрами, а их общую точку – вершиной пирамиды. Другие ребра и вершины обычно называют сторонами и вершинами основания пирамиды.

Пирамиду называют правильной, если все ее боковые ребра равны и в основании лежит правильный многоугольник. Ясно, что правильный тетраэдр – правильная треугольная пирамида, но не всякая правильная треугольная пирамида является правильным тетраэдром. Среди правильных пирамид только правильный тетраэдр является правильным многогранником.

Расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания называется ее высотой, часто под высотой пирамиды также понимают отрезок, перпендикулярный основанию и имеющий концы в вершине пирамиды и на плоскости основания.

Часть пирамиды, заключенная между плоскостью основания и плоскостью, проведенной параллельно основанию с пересечением боковых ребер пирамиды, называют усеченной пирамидой (рис. 1 и). Основание пирамиды и сечение указанной плоскостью исходной пирамиды называют основаниями усеченной пирамиды. Остальные грани усеченной пирамиды называют боковыми. Ребра, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой усеченной пирамиды, часто высотой усеченной пирамиды также называют любой отрезок, перпендикулярный плоскостям оснований и имеющий концы на этих плоскостях. Ясно, что основания усеченной пирамиды подобны. Если ее основания – правильные многоугольники и все ее боковые ребра равны, то такую усеченную пирамиду называют правильной.

На рисунке 2 выполнены проекции правильной шестиугольной призмы (рис.2 а) и правильной шестиугольной пирамиды (рис.2 б).

Рассмотрим положение ребер и граней призмы относительно плоскостей проекций. Ребра АА₁, ВВ₁,СС₁, DD₁, EE₁, FF₁расположены перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций, каждое ребро спроецируется на горизонтальную плоскость проекций в виде точки.

Грани ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DEE₁D₁, EFF₁E₁ и AFF₁A₁ расположены перпендикулярно горизонтальной плоскости и проецируются на нее в виде прямых линий.

Грани BCC₁B₁ и EFF₁E₁ конгруэнтны и параллельны фронтальной плоскости проекций, поэтому проецируются на фронтальную плоскость в виде фигур, равных по величине данным граням.

Грани верхнего и нижнего основания ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁ параллельны горизонтальной плоскости проекций, поэтому проецируются на нее тоже в виде фигур, равных по величине данным граням.

Рассмотрим положение ребер и граней пирамиды. Основание пирамиды ABCDEF расположено параллельно горизонтальной плоскости проекций, поэтому проецируется на горизонтальную плоскость в виде фигуры, равной по величине основанию. Все грани боковой поверхности (треугольники ASB, BSC, CSD, DSE, ESF и FSA) расположены наклонно к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций, поэтому проецируются на них в виде треугольников, но не равных по величине самим граням.

Грани BSC и FSE расположены перпендикулярно профильной плоскости проекций, поэтому проецируются на нее в виде прямых линий.

Ребра AS и DS параллельны фронтальной плоскости проекций, следовательно, проецируются на фронтальную плоскость в виде прямых, равных по величине ребрам пирамиды.

Рис. 2

Все ребра боковой поверхности расположены наклонно к горизонтальной плоскости проекций, поэтому на горизонтальную плоскость проекций они проецируются в виде прямых линий, но не равные ребрам пирамиды.

12 3 4 Следующая ⇒