Вписанная окружность

Вписанная окружность

Пункт 74

689) Обозначим основание ВС, тогда АВ=АС. Пусть О – центр окружности, а АК – высота, медиана (ВК=СК=5) и биссектриса.

Тогда АК= (по теореме Пифагора).

Пусть х – величина радиуса. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому в треугольниках АОС, АОВ и СОВ, радиусы проведённые в точку касания окружности отрезками АВ, АС и ВС будут высотами этих треугольников =>

С другой стороны

В ходе решения получили полезное следствие: площадь треугольника равна радиусу вписанной окружности, умноженному на полупериметр.

690) Воспользуемся обозначениями задачи 689. Заметим, что ОК – перпендикуляр к касательной ВС (АК высота) => OK=x (радиусу вписанной окружности). => AK=x+12x/5=17x/5 =>

С другой стороны, как мы доказали

692) Отрезки касательных, проведённых из одной точки равны => AP=AR, PB=BQ, QC=CR. Пусть АР=х, РВ=у, CR=z => x+y=10, y+z=12, x+z=5 => (вычитая из второго уравнения первое) z-x=2 => x+(x+2)=5 => x=1,5 z=3,5 y=8,5.

691) Сделайте самостоятельно с помощью 692-ой.

693) Пусть угол С прямой, О - центр окружности. Точки Р, К и М – точки касания окружности отрезками АВ, ВС и АС соответственно. Тогда ОК перпендикулярен ВС, а ОМ перпендикулярен АС, ОК=ОМ=х (радиусу окружности) => МОКС – квадрат, МС=КС=х.

Также, как в задаче 692 АР=АМ, ВР=ВК =>AB+AC+BC=AB+AB+2x=2 (AB+x) (объясните почему). а) 2 (26+4)=60

б) По теореме Пифагора (12+5)²=(5+х)²+(12+х)². Доделайте самостоятельно.

694) Сделайте самостоятельно, как следствие 693-ей.

696) Необходимым (и достаточным) условием существования вписанной окружности является равенство суммы противоположных сторон. Далее – самостоятельно.

697) Воспользоваться задачей 689.

⇐ Предыдущая 1 23